Biometria - EDAP
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A distribuição normal

(Leitura complementar ao capítulo 4)

Características

A distribuição normal tem como características fundamentais a média e o desvio padrão.

Para os interessados por Ciências Biológicas é a mais importante das distribuições contínuas pois muitas variáveis aleatórias de ocorrência natural ou de processos práticos obedecem esta distribuição.

Abraham de Moivre, um matemático francês exilado na Inglaterra, publicou a função densidade de probabilidade da distribuição normal com média e variância ² (ou, de forma equivalente, desvio padrão) em 1733:

É importante lembrar que os parâmetros populacionais e possuem os seguintes significados:

= média populacional: indica a posição central da distribuição
= desvio padrão populacional: refere-se à dispersão da distribuição

Se uma variável aleatória x tem distribuição normal com média e variância ², diz-se que x ~ N(,²)

A figura a seguir mostra uma curva normal típica, com seus parâmetros descritos graficamente.

A curva normal tem forma de sino, ou seja, é unimodal e simétrica, e o seu valor de máxima frequência, a moda coincide com o valor da média e da mediana.

A média é o centro da curva.

A distribuição de valores maiores que a média () e a dos valores menores que a média () é perfeitamente simétrica, ou seja, se passarmos uma linha exatamente pelo centro da curva teremos duas metades, sendo que cada uma delas é a imagem especular da outra.

As extremidades da curva se estendem de forma indefinida ao longo de sua base (o eixo das abcissas) sem jamais tocá-la. Portanto, o campo de variação da distribuição normal se estende de - infinito a + infinito.

Assim sendo, a curva apresenta uma área central em torno da média, onde se localizam os pontos de maior frequência e também possui áreas menores, progressivamente mais próximas de ambas as extremidades, em que são encontrados valores muito baixos de x (à esquerda) ou escores muito altos (à direita), ambos presentes em baixas frequências.

Como em qualquer função de densidade de probabilidade a área sob a curva normal é 1, sendo a frequência total igual a 100%. Assim, a curva normal é uma distribuição que possibilita determinar probabilidades associadas a todos os pontos da linha de base.

Portanto, tomando-se quaisquer dois valores pode-se determinar a proporção de área sob a curva entre esses valores. E essa área é o própria frequência da característica que ela determina.

Normal e anormal

A palavra normal tem um significado coloquial bastante indeterminado, mas tem um significado estatístico bem preciso.

O valor de uma variável tem ocorrência normal quando está entre 95% da área sob a curva em forma de sino, que tem a variável frequência no eixo dos Y, cujas extremidades ocupam 2,5% cada. Ou seja, um valor é considerado normal se está na em qualquer ponto entre 0,025 e 0,975 (2,5 e 97,5%) da área sob a curva.

Portanto, há dois tipos de "anormal". Todos os valores encontrados na área que está entre 0 a 2,5% correspondem a um dos  tipos. E todos os que estão no final da curva, ou seja, entre 97,5 e 100% se refiram ao outro tipo.

Uma pergunta pra pensar: É sempre ruim ser "anormal"?

É muito importante entender como a curva é afetada pelos valores numéricos de e .

Assim, como se vê na figura seguinte, em que x corresponde ao número de desvios padrão e Y demonstra a frequência, quanto maior a média, mais à direita está a curva.

Note-se que, se diferentes amostras apresentarem o mesmo valor de média e diferentes valores de desvios padrão , a distribuição que tiver o maior desvio padrão se apresentará mais achatada (c), com maior dispersão em torno da média. Aquela que tiver o menor desvio padrão apresentará o maior valor de frequência e acentuada concentração de indivíduos em valores próximos à média (a).

Já, distribuições normais com valores de médias diferentes e o mesmo valor de desvio padrão possuem a mesma dispersão, mas diferem quanto à localização no eixo dos X.  (topo)

Distribuição Normal Padrão - z

A figura anterior mostra também que o desvio-padrão controla o grau para o qual a distribuição se "espalha" para ambos os lados da curva. Percebe-se que aproximadamente toda a probabilidade está dentro de ± 3 a partir da média.

Se a variável x tem distribuição normal, pode ser transformada para uma forma padrão, denominada Z, (ou, como comumente se diz, pode ser padronizada) subtraindo-se sua média e dividindo-se pelo seu desvio padrão:

z = ( x - ) /

z = ( x - ) / s

A equação da curva de z é:

É importante lembrar que a área sob a curva pode ser entendida como uma medida de sua probabilidade e que a área sob a curva normal é igual a 1 (100%).

Assim, a variável x cuja distribuição é N( ,²) é transformada na forma padronizada z cuja distribuição é N(0,1). Essa é a distribuição normal padrão, que já está tabelada, pois os parâmetros da população (desvio padrão e média) são conhecidos.

Então, se forem tomados dois valores específicos, pode-se determinar a proporção de área sob a curva entre esses dois valores.

Para a distribuição Normal, a proporção de valores caindo dentro de um, dois, ou três desvios padrão da média são:.

(topo)

Z - dados tabelados

Como se chegou a esses valores?

Para responder essa pergunta é necessário conhecer a distribuição de z, que já está tabelada.

Note-se que a Tabela de z determina a área a partir do número de desvios-padrão, os quais são lidos assim:

O valor de z será encontrado na intersecção entre a coluna e a linha, sendo adimensional.

Verificando a tabela, percebe-se que para os valores negativos de z as áreas são obtidas por simetria, ou seja, existe o mesmo conjunto de valores, com sinal negativo, para o lado esquerdo da média, pois a tabela é especular.

Os valores de z permitem delimitar a área sob a curva, pois, como no eixo Y do gráfico está a frequência da variável, a área sob a curva tem o mesmo valor da probabilidade de ocorrência daquela característica.

Exemplo 1

Qual é a área sob a curva normal contida entre z = 0 e z = 1?

Procura-se o valor 1 na primeira coluna da tabela e o valor da coluna 0,00. O valor da intersecção é de 0,3413, ou seja 34,13%.

Entretanto, lembrando que a curva normal é simétrica, sabe-se que a área sob a curva normal contida entre z = 0 e z = -1 também é 34,13%. Portanto, a área referente a -1 < z < 1 vale a soma de ambas, ou seja, 68,26%.

Recordando que o valor central corresponde a , pode-se traçar o seguinte gráfico, em que se percebe que, excetuando-se os valores centrais, sobram apenas 15,87% para cada lado da curva.

Exemplo 2

Assim sendo, considerando a área sob a curva normal, qual é a área correspondente a exatos 95% da curva?

z = 95% = 0, 95

0, 95 / 2 = 0,4750

Procurando esse valor (0,4750) na tabela de z chega-se a 1,96.

Portanto, como o valor da área é o mesmo valor da probabilidade, se uma variável x tem distribuição normal, com média e desvio padrão, a probabilidade de se sortear da população de valores de x um valor contido no intervalo ± 1,96 é igual a 95% ( 47,5% para cada lado da curva ) e a probabilidade de se sortear da população de valores de x um valor não contido no intervalo ± 1,96é igual a 5% ( 2,5% em cada extremo da curva ).

(em que Média da população =   e  Desvio padrão da população = ).

Resumo: Características da curva normal

a. O campo de variação é menos infinito < x < mais infinito

b. A distribuição normal de x é completamente determinada por dois parâmetros:
- Média da população =
- Desvio padrão da população =

c. A distribuição é simétrica em relação à média e os valores de média, moda e mediana são iguais. A área total sob a curva é igual a 1, ou 100%, com exatos 50% dos valores distribuídos à esquerda da média e 50% à sua direita

d. A área sob a curva normal contida

Exercícios - Exemplos do uso de z

1. Já foi visto como se chegou ao valor 68,26%. Como se chegou aos valores (2) 95,44% e (3) 99,74%?

Tente resolver!


Para ver uma resolução clique aqui.

2. Em uma população de indivíduos adultos de sexo masculino, cuja estatura média é 1,70 m e desvio padrão é 0,08 m, qual é o intervalo de alturas em que 95% da população está compreendido?

Tente resolver!

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3. Na mesma população, qual a probabilidade de um indivíduo apresentar estatura entre 1,60 e 1,82 m?

Tente resolver!

Para ver uma resolução clique aqui.

4. Qual a probabilidade de se encontrar 1 indivíduo com estatura menor que 1,58 m?

Tente resolver!

Para ver uma resolução clique aqui.

5. Sabendo-se que o índice de massa corpórea em uma população de pacientes com diabetes mellitus obedece uma distribuição normal e tem média = 27 kg/cm² e desvio-padrão = 3 kg/cm², qual a probabilidade de um indivíduo sorteado nessa população apresentar um índice de massa corpórea entre 26 kg/cm² e a µ?

Tente resolver!

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6. Em mulheres, a quantidade de hemoglobina por 100 ml de sangue é uma variável aleatória com distribuição normal de média = 16g e desvio padrão s = 1g. Calcular a probabilidade de uma mulher apresentar 16 a 18 g por 100 ml de hemoglobina no sangue.

Tente resolver!

Para ver uma resolução clique aqui. (topo)

Erro padrão da média e tamanho amostral

Se for retirado um certo número de amostras aleatórias de mesmo tamanho de uma população, não se deve esperar que todas as médias e desvios padrões amostrais sejam iguais. Encontra-se uma distribuição das médias amostrais.

Intuitivamente percebe-se que o centro desta distribuição está próximo da média real da população.

Exemplo: Supondo as seguintes frequências cardíacas em 5 amostras, cada qual com 3 indivíduos, de uma população:

A média das médias é igual a:

= ( 69,00 + 70,00 + 70,00 + 68,33 + 69,00) / 5 = 69,27

Depois, calcula-se uma medida da dispersão das cinco médias amostrais: o desvio padrão das médias.

Desvio padrão = raiz [ (x_a - )² / (n-1)]

Ressalte-se que, nesse caso, _a = cada média amostral, = média das amostras (69,27) e n = número de amostras.

Substituindo os valores na equação:

Desvio padrão = raiz [(69,00 - 69,27)² + (70,00 - 69,27)² + … + (69,00 - 69,27)² ] / 4 = 0,71

Notar que nenhuma das médias equivale ao valor encontrado. Assim, sempre se comete erro ao se calcular a média.

O procedimento descrito acima é um método empírico para definição do erro padrão da Média (EPM).

Matematicamente é possível calcular esse erro. O erro da média ou erro padrão da amostra ou, simplesmente erro padrão (s_x ou EPM) é dado por:

s_x = / raiz n ou s_x = s / raiz n,

em que:

s = Desvio padrão da amostra (o desvio padrão da população não é conhecido)
= Desvio padrão da população
n = Tamanho da amostra

Conclui-se que:

Existe uma relação inversa entre o tamanho da amostra e o erro padrão, ou seja, quando o tamanho da amostra aumenta o erro padrão diminui.

O erro padrão da média diminui com a raiz quadrada do número n de medições realizadas. Portanto, realizar mais medidas melhora a determinação do valor médio como estimador da grandeza que se deseja conhecer. (topo)

Erro padrão só com 1 amostra

Nesse caso, os parâmetros da população (desvio padrão e média) são conhecidos.

z = ( - ) / EPM, ou seja, z = ( - ) / s_x

Exemplo:

Um médico receitou um medicamento vasodilatador (Nifedipina) para Hipertensão Arterial, mas ele suspeita que o medicamento está aumentando a frequência cardíaca dos pacientes.
Sabedor que a população apresenta os seguintes valores: = 69,8; s = 1,86, coletou uma amostra aleatória de 50 pacientes e mediu as suas frequências cardíacas, obtendo a média de 70,5. A suspeita se confirmou?

Estabelece-se as hipóteses, com alfa = 5%:

Calcula-se o erro da média:

s_x =/ raiz n = 1,86 / raiz 50 = 1,86 / 7,0710 = 0,2630

Calcula-se z:

z = ( - ) / s_x = (69,8 - 70,5) / 0,2630 = -0,7 / 0,2630 = -2,66

Consultando o valor -2,66 na Tabela de z obtém-se o valor 0,4961.

Portanto: z = 0,50 - 0,4961 = -0,0039 = 0,39%

Ou seja, existe uma probabilidade de aproximadamente 0,0039 (0,39%) de que seja obtida uma média maior do que 70,5 ao acaso, quando são retiradas amostras aleatórias de tamanho 50 desta população. Como essa probabilidade é menor que 5% (p < 0,05), rejeita-se H0 e aceita-se H1, concluindo-se que a suspeita do médico se confirmou e a nifedipina aumentou significativamente a frequência cardíaca.

Distribuição de t de Student

Em 1908, o estatístico inglês William Sealey Gosset, que assinava os seus trabalhos com o pseudônimo de "Student" descobriu essa distribuição. Mas seus trabalhos foram ignorados e redescobertos por Fisher só em 1924-25, apesar de terem enorme importância estatística.

O valor de t é a medida do desvio entre a média amostral , estimada a partir de uma amostra aleatória de tamanho n, e a média da população, usando o erro da média como unidade de medida:

t = ( - ) / s_x

O parâmetro usado para descrever a distribuição t é o número de graus de liberdade que terá relação com o tamanho da amostra (n) .

Os dados sobre t também já se encontram tabelados. (Para ver a tabela de t, clique aqui).

A tabela é lida como a de Qui quadrado, ou seja, probabilidade (P) nas colunas e Graus de liberdade (G.L.) nas linhas, sendo o valor de t_c (t crítico) encontrado na intersecção entre a coluna de 5% e a linha correspondente ao número de graus de liberdade da amostra, sendo G.L. = n - 1.

Do mesmo modo que a tabela de z, a tabela de t é especular, ou seja, para os valores negativos de t existe esse mesmo conjunto de valores, mas com sinal negativo. Ou seja, a tabela de t é bicaudal. (topo)

Intervalo de confiança da média e limites fiduciais

Uma das aplicações importantes do conhecimento da distribuição de t é a possibilidade de, conhecendo-se

- a média amostral de uma variável x e
- o erro da média = s_x = s / raiz n
poder estimar quais valores x poderá assumir dentro de um intervalo em torno da média .

Esse intervalo é denominado "Intervalo de confiança da média " e os valores que o delimitam são os "limites fiduciais" ou "limites de confiança da média".

Supondo uma variável x, com distribuição normal, cuja média populacional não conhecemos e que, numa amostra casual de tamanho n, já se calculou x médio ( ) e o erro da média (s_x).

Se quisermos estabelecer o intervalo de confiança da média , com probabilidade de 95%, devemos verificar primeiramente, em uma tabela de t, qual é o valor de t, com n-1 graus de liberdade e 5% de probabilidade. Esse valor é chamado de t crítico (t_c).

É importante lembrar que o valor de t amostral t = ( - ) / s_x deve estar no intervalo entre - t_c e + t_cem 95% das amostras.

Portanto, pode-se dizer que existe uma probabilidade de 95% de encontrar:

Se multiplicarmos todos os termos da expressão por s_x :

Se transpusermos :

Mudando os sinais:

Invertendo os termos:

Essa última expressão indica que antes de se tomar uma amostra para estudo, existe uma possibilidade de 95% do intervalo ± ( t_c s_x ) conter a média .

Exemplo:

1. Foi tomada a distância inter-pupilar de 131 mulheres adultas e obteve-se = 59,2 mm e s = 2,75mm

s_x = s / raizn n = 2,75 / raiz 131 = 0,2402 mm

Para estimar o intervalo de confiança de 95% da média da distribuição da distância inter-pupilar nessa amostra, consulta-se a tabela de t com com n -1 graus de liberdade (131 - 1 = 130) e 5% de probabilidade.

Como 130 >120 (último valor na coluna 1) pode-se ler o valor de t crítico na linha referente a "infinito" e na coluna de 0,05.

59,2 - ( 1,96 x 0,2402) < < 59,2 + ( 1,96 x 0,2402), obtendo-se:

ou seja, a média populacional, calculada a partir de uma única amostra, deve estar entre os limites fiduciais 58,73 e 59,67 mm, um espaço menor que 1 mm (0,94 mm).

2. Suponha que os dados são os mesmos, exceto o tamanho amostral.

a. Qual seria o intervalo fiducial se n fosse 231? b. 61? c. 31? d. 21? e. 11? f. 6?

Distribuições binomial e normal

Os dados biológicos muitas vezes apresentam-se graficamente como curvas com distribuição normal ou binomial.

É importante notar que a distribuição binomial se aproxima da distribuição normal à medida que o número de experimentos aumenta. E deve-se notar que curvas que obedecem binomiais, especialmente após GL = 30, são extremamente semelhantes às normais.

Assim, quando uma amostra tem n > 30 uma curva binomial tende a se assemelhar a uma curva normal. No caso de n = 31 a distribuição (p + q)³¹ terá os seguintes valores:

Quando uma amostra tem n > 30, uma das consequências da aproximação da curva binomial à normal é que a média e o desvio padrão da distribuição binomial podem ser usados para por à prova:

Nesse caso, z = ( o - ) / o

valor de z é comparado com o valor de t_c:

Amostras com n > 30

Exemplo 1.

Um ortopedista ao estudar 52 filhos de casais que incluem 1 cônjuge com uma anomalia óssea verificou que 20 dos filhos apresentam a mesma anomalia encontrada em 1 de seus pais.

Hipótese Nula (H₀): é uma herança dominante, autossômica e monogênica, ou seja, p = q = 0,5

O número esperado de anômalos é = nq = 52 x 0,5 = 26
O desvio padrão é s = raiz n.p.q = raiz 52 x 0,5 x 05 = 3,606
O número observado de anômalos é = 20

z = (20 - 26) / 3,606 = -1,664

gl = 52 -1 = 51, t_c = 2,00

____________ -t_c __________________+ t_c

__________ -2,00 __|_____ 0 _______+2,00___________

_______________-1,664

Como -t_c < z < + t_c aceita-se H₀.

Exemplo 2

E se o ortopedista tivesse encontrado não 20, mas apenas 17 filhos com a mesma anomalia dos pais?

z = (17 - 26) / 3,606 = -2,496

Se apenas 17 filhos fossem anômalos, como z > t_c poder-se-ia rejeitar H₀.

____________ -t_c ______________________+ t_c

_____!_____ -2,00 __|___ 0 ______+2,00___________

___-2,496

Como z < -t_c pode-se rejeitar H₀.

Amostras com n < 30

Mesmo em amostras com n bem menor que 30 indivíduos pode-se usar métodos aplicáveis à distribuição normal.

Exemplo 1:

Considerando uma certa anomalia que tem probabilidade de 0,5 de se manifestar em filhos de casais que incluem 1 cônjuge afetado. Analisando irmandades de diferentes tamanhos geradas por esses casais, qual a probabilidade de encontrarmos pelo menos 7 anômalos nas irmandades com 12 irmãos?

Resolução 1

Usando o Triângulo de Pascal

Para se determinar os coeficientes da equação, monta-se o Triângulo até atingir o expoente desejado no binômio de Newton:

Portanto, a equação será:

1p¹² q⁰ + 12 p¹¹ q¹ + 66p¹⁰q² + 220p⁹ q³ + 495p⁸ q⁴ + 792p⁷ q⁵ + 924p⁶ q⁶ + 792p⁵ q⁷ + 495 p⁴ q⁸ + 220p³q⁹ + 66p² q¹⁰ + 12p¹ q¹¹ + 1p⁰ q¹²

Sendo p = normalidade e q = anomalia, como o problema pede "pelo menos 7 anômalos nas irmandades com 12 irmãos" nos interessa apenas essa parte da equação:

792p⁵ q⁷ + 495 p⁴ q⁸ + 220p³q⁹ + 66p² q¹⁰ + 12p¹ q¹¹ + 1p⁰ q¹²

Somando-se seus coeficientes (792 + 495 + 220 + 66 + 12 + 1= 1586), temos 1586 indivíduos para 4096 no total das irmandades.

1586 / 4096 = 0,3872, portanto, P = 38,7%

Ou seja, a probabilidade de se encontrar "pelo menos 7 anômalos nas irmandades com 12 irmãos" é igual a 38,72%.

Resolução 2

Usando as características da curva normal

= nq = 12 . 0,5 = 6
s = raiz npq = raiz 12 . 0,5 . 0,5 = 1,73

O valor da média pode ser tomado como um centro de classe do intervalo 5,5 a 6,5.
z = (x - ) / () = (6,5 - 6) / 1,73 = 0,29

Consultando a tabela de z, vê-se que o valor correspondente a 0,29 é 0,1141, o que indica que a área ocupada a partir de 5,5 é 0,5000 - 0,1141 = 0,3869, ou seja, que tem uma probabilidade de 38,7%.

Portanto, nota-se que apesar de estarmos tratando de outra distribuição (binomial) as fórmulas referentes à distribuição normal podem ser usadas pois a diferença encontrada nos resultados é insignificante, (38,72% e 38,69%) é insignificante, praticamente desprezível.

Exemplo 2:

Qual a probabilidade de encontrarmos irmandades com 4 indivíduos normais e 8 anômalos?

Resolução 1

Usando o Triângulo de Pascal

Verificar no triângulo montado. O valor desejado é 495 p⁴q⁸. Substituindo p e q por 0,5:
495 0,5⁴ 0,5⁸ = 0,121 ou 12,1%

Resolução 2

Usando as características da curva normal

A área sob a curva na classe correspondente a 8 (com limites 7,5 e 8,5) deve ser calculada, lembrando que z = ( x - ) / s:

z₁ = (limite min - ) / e z₂ = (limite max - ) /

z₁ = 7,5 - 6 / 1,73 = 0,87 e z₂ = 8,5 - 6 / 1,73 = 1,45

Verificando na Tabela de z:
0,87 corresponde a 0,3078 e 1,45 corresponde a 0,4265

A diferença entre essas áreas determina uma área limitada por 0,87 e 1,45, ou seja,

0,4265 - 0,3078 = 0,1187 = 0,119
0,119 = aproximadamente 12%

Novamente percebe-se que apesar de ser um caso de distribuição (binomial) as fórmulas referentes à distribuição normal podem ser usadas pois a diferença encontrada nos resultados é insignificante, praticamente desprezível. (topo)

Tamanho amostral

Em uma amostragem não probabilística, o tamanho amostral é estabelecido sem nenhuma base de sustentação técnica. Comumente corresponde a 10% ou 15% da população alvo.

Já, em uma amostragem probabilística, o tamanho da amostra é função:

do(s) parâmetro(s) a estimar,
do nível de confiança desejável,
do erro tolerável ou índice de precisão escolhidos,
do grau de dispersão da população,
pode, ainda, depender do tamanho da população e de outros parâmetros específicos.

Basicamente, o tamanho da amostra depende da precisão desejada, conforme o arbítrio do pesquisador. Assim, é intuitivo perceber que o tamanho depende do erro aleatório mencionado acima.

Há uma relação inversa entre o erro e o tamanho da amostra. Amostras “grandes” estão associadas a erros “pequenos” e amostras “pequenas” a erros “grandes”. Assim, deve-se procurar uma compatibilidade entre o tamanho amostral e o erro que se “tolera” cometer em um estudo.

Se soubermos o valor do desvio padrão da variável que está sendo estudada podemos ter uma ideia de qual deve ser um bom tamanho amostral, pois

Erro da média = s_x = / raiz n, com intervalo de confiança ± 1,96 s_x

em que n = tamanho amostral.

O erro tolerável (E) é :

E = 1,96. / raiz n

Elevando ao quadrado, obtém-se:

E² = 1,96².² / n,

o que permite escrever:

n = 1,96².² / E²

Exemplo 1:

Foi feita uma dosagem bioquímica de um certo composto em uma amostra de 36 indivíduos e obteve-se = 300 mg e s = 15 mg. Qual é um bom tamanho para essa amostra (n)?

Aceitando-se que s é um bom estimador para:
s = 15 mg e s_x= / raiz n = 15 / raiz 36 = 2,5 mg
E = 1,96 s = 1,96 x 2,5 = 4,9 mg = precisão da estimativa

Ou seja, a média tem 95% de chance de estar entre 300 ± 4,96 (entre 295,1 e 304,9 mg).

Entretanto, se o pesquisador quiser aumentar essa precisão de modo que o intervalo de confiança da média fique entre 298 e 302, E será igual a 2.

Então:

n = 1,96².² / E² = 1,96² .15² / 2² = 216,09 = 216 indivíduos

Como já há 36 pessoas na amostra, faltam 216 - 36 = 180

Assim, para conseguir que o erro passe de 4,9 para 2 o pesquisador precisaria de mais 180 indivíduos.

Obs. Se a distribuição da amostra for binomial (e não normal ) deve-se usar essas fórmulas:

E = 1,96 raiz pq / n e n = 1,96² pq / E² (topo)

Momentos, Assimetria e Curtose

Momentos

Momentos centrados na média

Em relação ao primeiro momento, sabe-se que é nulo, pois, (x - ) = 0

O segundo momento ( (x - )² / n ) é muito parecido com a variância ( (x - )² / n-1 )

Fórmulas para dados individuais:

m₂ = x² / n - ²

m₃ = x³ / n - (3.. x²) / n + 2³

m₄ = x⁴ / n - (4.. x³) / n + (6² x²) / n - 3⁴

Fórmulas para dados agrupados em classes:

= média
i = intervalo de classe
X = centros de classe
f = frequência absoluta
n = tamanho da amostra

chega-se a essas fórmulas:

m₂ = {(f X²)/n - [(f X)² / n²] } i²

m₃ = { (f X³)/n - (3.f X .f X²)/n² ) + [ 2.(f X)³ /n³] } i³

m₄ = { (f X⁴)/n - [(4.f X.f X³)/n²] + [ 6.(f X)².(f X²)/n³] - [3 (f X)⁴/n⁴] } i ⁴ (topo)

Simetria

O terceiro momento centrado na média é utilizado na investigação de assimetria nas distribuições. Nas distribuições unimodais essa investigação é muito interessante pois é necessário saber se existe assimetria positiva ou negativa, ou seja, se é significativo o alongamento de uma das caudas da distribuição (à direita ou à esquerda da média).

Para estudar a assimetria em distribuições unimodais Fisher propôs o coeficiente g₁

Para verificar se o valor de g₁ se desvia significativamente de zero calcula-se a razão entre g₁ e s_g1 obtendo-se um t que deve ser comparado a um t crítico (t_c) com infinitos graus de liberdade ao nível de significância de 5% ( t_c = ± 1,96).

Um valor de t calculado igual ou maior que +1,960 indica que g₁ é significativamente maior que zero, ou seja, que a assimetria é positiva. Do mesmo modo, um valor de t calculado igual ou menor que -1,960 indica que g₁ é significativamente menor que zero, ou seja, que a assimetria é negativa.

Curtose

O quarto momento centrado na média é utilizado na investigação de curtose nas distribuições. Calcula-se:

O teste t tem t_c = ± 1,96, sendo que um valor de t calculado igual ou maior que +1,960 indica que g₂ é significativamente maior que zero, ou seja, que a distribuição é leptocúrtica. Do mesmo modo, um valor de t calculado igual ou menor que -1,960 indica que g₂ é significativamente menor que zero, ou seja, que a distribuição é platicúrtica.

O coeficiente de variação C

Como já foi visto, o coeficiente de variação é uma medida da dispersão dos dados.

E é a razão entre o desvio padrão e a média amostral:

C = s /

Quando se transforma o desvio padrão em uma fração da média pode-se comparar amostras com desvios-padrão diferentes.

O teste t é feito, por meio da seguinte fórmula:

em que:
V_Ca = Variância da amostra a e V_Cb = Variância da amostra b
Graus de liberdade = n_a + n_b - 4, em que n_a e n_b são os tamanhos amostrais.

Se os coeficientes de variação forem menores que 0,30 (o que acontece quase sempre) pode-se calcular a variância do seguinte modo:

Se os coeficientes de variação forem maiores que 0,30, calcula-se a variância assim:

V_C = [( m₄ - m₂² ) - 4 .m₂.m₃ + 4 m₂³] / 4 n⁴

em que
m₂, m₃ e m₄ = segundo, terceiro e quarto momentos centrados na média
= média
n = tamanho da amostra

Exemplo:
Supondo 2 amostras onde foi coletada a altura de indivíduos. Ambas são constituídas por indivíduos caucasóides, de sexo masculino, de Campinas. Mas a primeira amostra recém nascidos e a segunda universitários, sendo que:

Amostra a. recém-nascidos, caucasóides, sexo masculino, de Campinas, em que:

= 49,0; s = 2,55, n = 50

Amostra b. universitários, caucasóides, sexo masculino, de Campinas, em que:

= 170,11; s = 8,38, n = 100

Como desenhar uma Curva Normal?

Há uma maneira de conseguir desenhar a curva normal esperada para a população a partir dos dados amostrais.

Exemplo:
Ao estudar o nível de uma certa enzima nos hemolisados de 138 homens brasileiros adultos, jovens e sadios, verificou-se que a sua distribuição segundo a atividade dessa enzima era unimodal. Os dados amostrais a respeito dessa atividade (x 10⁴) foram agrupados na tabela abaixo.

Com base nesses dados, criar um gráfico, em colunas, da distribuição observada, sob um gráfico, em linha, de sua curva normal.

Segue, abaixo, um método fácil para desenhar a curva normal:

a. Calcular a média amostral ( )

b. Calcular o desvio padrão amostral (s)
c. Obter os pontos para a curva normal completando a tabela a seguir, usando uma tabela com a distribuição de Y.

d. Traçar um gráfico em colunas da distribuição

e. Sobrepor ao gráfico a curva normal

Os valores obtidos na última coluna devem ser usados para montar o gráfico.

Qual é o tipo do gráfico a ser criado?

Este "site", destinado prioritariamente aos alunos de Fátima Conti,
está disponível sob FDL (Free Documentation Licence),
pretende auxiliar quem se interessa por Bioestatística,
estando em permanente construção.
Sugestões e comentários são bem vindos.
Se desejar colaborar clique aqui. Agradeço antecipadamente.



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Última alteração: 5 abr 2011