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Biometria - EDAP
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Binômio de Newton e Triângulo de Pascal

(Leitura complementar ao capítulo2)


Sumário:

Binômio de Newton
Coeficientes binomiais
Herança Quantitativa ou poligênica
Triângulo de Pascal


Triângulo de Pascal

Blaise Pascal (Clermont-Ferrand, Puy-de-Dôme, 19 de Junho de 1623 - Paris, 19 de Agosto de 1662) foi um prodígio matemático.

Em torno de 1650 escreveu o "Traité du Triangle Arithmétique" publicado em 1665 e, juntamente com Pierre Fermat, estabeleceu os fundamentos da teoria da probabilidade.

Embora não tenha sido o primeiro a trabalhar com o triângulo, este tornou-se conhecido como "triângulo de Pascal" devido ao desenvolvimento e aplicações que Pascal fez de muitas de suas propriedades.

Construído do modo como se vê a seguir, e denominando-se as linhas de n = 1, 2, ... e as colunas de r = 0, 1, 2, ...

Cada entrada C(n,r) é a soma do número acima com o da sua esquerda (também acima) de cada número.

Exemplo:
O número 2, na posição C(2, 1) é obtido pela soma de 1 (número acima dele) + 1 (número à esquerda, também acima).
O número 10, na posição C(5, 2) é obtido pela soma de 6 (número acima dele) + 4 (número à esquerda, também acima)

n, r r = 0 r = 1 r = 2 r = 3 r = 4 r = 5 r = 6
n = 0 1 . . .. . . .
n = 1 1 1 . . . . .
n = 2 1 2 1 . . . .
n = 3 1 3 3 1 . . .
n = 4 1 4 6 4 1 . .
n = 5 1 5 10 10 5 1 .
n = 6 1 6 15 20 15 6 1

e prossegue-se até atingir os valores de n e r desejados.

Exercício

Complete: O número 20, na posição C( __, __ ), é obtido pela soma de __ + __.


Coeficientes binomiais

Uma das aplicações que Pascal fazia do seu triângulo era a determinação dos coeficientes binomiais quando se faz a expansão do binômio de Newton, sendo que eles correspondem aos números C(n,r).

Por exemplo, a fórmula
(p +q)2 = 1p2 + 2pq + 1q2

tem os coeficientes 1, 2 e 1, que estão, precisamente, na linha n = 2 no triângulo.

Já, se alguém desejar a expansão de (p +q)3 deverá tomar a linha n = 3 no triângulo.

(p +q)3 = 1p3q0 + 3p2q1 + 3p1q2 + 1p0q3

É importante lembrar que os coeficientes também podem ser obtidos diretamente pela fórmula:

C(n, r) = n! / r!.(n - r)!
Resumindo:

no. genes coeficientes no. de combinações
0 1 1
1 1 1 2
2 1 2 1 4
3 1 3 3 1 8
4 1 4 6 4 1 16
5 1 5 10 10 5 1 32
6 1 6 15 20 15 6 1 64
7 1 7 21 35 35 21 7 1 128
8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 256 e continua...


Binômio de Newton


Isaac Newton, físico e matemático inglês (1642 - 1727) deu enorme contribuição à Matemática, em 1687 quando escreveu "Principia Mathematica".

Aqui é importante lembrar que denomina-se Binômio de Newton, a todo binômio da forma (a + b)n, sendo n um número natural, que é chamado de ordem do binômio.

Assim, para determinar quais são as combinações possíveis quando uma distribuição possui os parâmetros p e q, faz-se a expansão do

Binômio de Newton: (p + q)n

Para expandir uma equação, pode-se seguir os passos:

1. Todos os membros terão o termo p e, também, o q. (Ou seja, deve existir o termo p.q em todos os termos).

2. No primeiro membro atribui-se ao expoente de p o valor n e ao expoente de q o valor 0. A seguir diminui-se de 1 o valor do expoente de p e aumenta-se de 1 o valor do expoente de q. Continua-se até o último membro que deve ter o valor 0 no expoente de p o valor n no expoente de q.

3. A soma dos expoentes de cada membro deve ser igual ao expoente do binômio.

Portanto, a expansão de (p + q)2 é:
(p + q)2 = __ p2q0 + __ p1q1 + __ p0q2

Lembrando que qualquer número elevado a zero é igual a 1 e que não é necessário colocar o expoente quando for igual a 1, temos:

(p + q)2 = __ p2 + __ pq + __ q2

4. Toma-se a sequência numérica obtida no triângulo referente ao número de combinações usado e distribui-se, ordenadamente.


No. Comb. Binômio
 Equação expandida
4 (p + q)2 1p2q0 + 2p1q1 + 1p0q2
8 (p + q)3 1p3q0 + 3p2q1 + 3p1q2 + 1p0q3
16 (p + q)4 1p4q0 + 4p3q1 + 6p2q2 + 4p1q3 + 1p0q4
E continua...

Assim, a expansão de (p + q)2 gera:

p2 + 2pq + q2


Para descobrir quais são os coeficientes das equações com expoentes maiores que 4 é conveniente usar o Triângulo de Pascal, como descrito acima.

Herança quantitativa (ou poligênica)

Na herança quantitativa dois ou mais pares de alelos determinam o fenótipo. Por isso é também denominada herança poligênica.

Os alelos podem ser: aditivo ou indiferente (ou não-aditivo).

Cada alelo aditivo determina o aumento da intensidade da expressão do fenótipo, não importando de qual par é esse alelo aditivo.

Os alelos não-aditivos não acrescentam nada na expressão do fenótipo.


Herança quantitativa - Identificação

Como identificar e diferenciar a herança quantitativa das demais heranças genéticas?
Na geração F2 há vários fenótipos para uma certa característica, com variação contínua.

Quando estão envolvidos 2 pares de genes haverá 5 fenótipos possíveis. Se forem 3 pares serão 7 fenótipos. Se forem 4 pares serão 9 fenótipos e assim por diante.

Em F2 o fenótipo apresenta variação contínua ou gradual. Exemplo: No caso da cor da pele na espécie humana, entre os extremos (branco e negro) há diversos fenótipos intermediários, os vários tipos de mulatos.

A frequência dos fenótipos se distribui em uma curva normal.

Os fenótipos dos tipos extremos (mínimos e máximos) são os observados em frequências menores, enquanto os fenótipos intermediários são encontrados em quantidades maiores. A distribuição quantitativa desses fenótipos estabelece uma curva normal e mostra a expressividade do caráter.




Expressividade do caráter
a = mínima, b = média, c = máxima

Algumas fórmulas podem ajudar a resolver problemas:

1. O número de fenótipos que podem ser encontrados depende do número de pares de alelos envolvidos, que chamamos

n = número de fenótipos = 2n + 1

2. Pode-se calcular a frequência dos fenótipos extremos
Frequência de 1 fenótipo extremo = (1/4)n

3. Pode-se calcular quanto cada gene aditivo acrescenta ao fenótipo. ( Lembrar que número de genes = 2n).

Valor do gene aditivo = (fenótipo máximo - fenótipo míimo ) / 2n

Exemplo: Cor da pele humana

No caso da cor da pele humana, considerando apenas 5 fenótipos, envolvendo dois pares de genes N e B, que teriam a mesma função, ou seja, acrescentar uma certa quantidade de melanina à pele, se efetivos (N ou B) ou não acrescentar nada, se não efetivos (n ou b).

Fenótipos Número de genes
negro 4 genes efetivos e 0 não efetivos
mulatos escuros 3 genes efetivos e 1 não efetivo
mulatos médios 2 genes efetivos e 2 não efetivos
mulatos claros 1 gene efetivo e 3 não efetivos
branco 0 genes efetivos e 4 não efetivos

Se acontecer um cruzamento entre dihíbridos, quais serão as proporções fenotípicas da descendência?


Resolução 1:

Com conhecimentos de Genética: (quais são os gametas e os tipos possíveis de filhos gerados?)


NnBb x NnBb
Gametas produzidos por ambos: NB, Nb, nB e nb
gametas NB Nb nB nb
NB NNBB NNBb NnBB NnBb
Nb NNbB NNbb NnbB Nnbb
nB nNBB nNBb nnBB nnBb
nb nNbB nNbb nnbB nnbb

Observa-se que há 16 combinações genotípicas diferentes, sendo :

1 negro 4 genes efetivos e 0 não efetivo NNBB menor frequência = 1/16 maior expressividade
4 mulatos escuros 3 genes efetivos e 1 não efetivo NNBb ou nNBB . .
6 mulatos médios 2 genes efetivos e 2 não efetivos NNbb, nnBB ou NnBb maior frequência = 6/16 média expressividade
4 mulatos claros 1 gene efetivo e 3 não efetivos Nnbb ou nnBb . .
1 branco 0 gene efetivo e 4 não efetivos nnbb menor frequência = 1/16 mínima expressividade

Ou seja, na descendência chega-se à seguinte proporção fenotípica: 1 negro : 4 mulatos escuros : 6 mulatos médios : 4 mulatos claros : 1 branco


Resolução 2:

Usando o Triângulo de Pascal:
Chama-se de p = genes efetivos = 2 (N ou B) e de q = genes não efetivos = 2 (n ou b)
Procura-se no triângulo a linha em que o número de genes é igual a 4.

no. genes coeficientes
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1

1 negro 4 efetivos e 0 não efetivo 1 p4 q0
4 mulatos escuros 3 efetivos e 1 não efetivo 4 p3q1
6 mulatos médios 2 efetivos e 2 não efetivos 6 p2q2
4 mulatos claros 1 efetivo e 3 não efetivos 4 p1q3
1 branco 0 efetivo e 4 não efetivos 1 p0 q4

Portanto, na descendência chega-se à seguinte proporção fenotípica:

1 negro : 4 mulatos escuros : 6 mulatos médios : 4 mulatos claros : 1 branco


E a equação será:
(p + q)4 = 1 p4q0 + 4 p3q1 + 6 p2q2 + 4 p1q3 + 1 p0q4

ou seja:

(p + q)4 = p4 + 4 p3q + 6 p2q2 + 4 pq3 + q4



Exercícios

Qual é a equação que representa a expansão dos seguintes binômios:

a. (p + q)6

b. (p + q)8



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Última alteração: 1 abr 2011