Biometria - EDAP
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Descrição de amostras

(Leitura complementar ao capítulo 1)

Sumário:

Desvio Padrão
Média
Média e mediana
Média, variância e DP em dados classificados
Mediana
Medidas de dispersão
Medidas de tendência central
Medidas Separatrizes
Moda
Variância

Lembrete: Antes de ler esse texto já devem ter sido lidos:

Estatística, Hipótese, Método e Ciência,
População, Amostra, Variáveis, Dados
Frequência e
Criação de Tabelas


Medidas de tendência central (ou Medidas de concentração ou Promédios)


Como o próprio nome já diz, medidas de tendência central são aquelas cujo valor tende a localizar-se no centro de uma série de dados.

Frequentemente, quando se analisa os valores de uma variável em uma amostra, constata-se que os dados não se distribuem uniformemente, havendo concentração em alguns pontos, notadamente próximos ao centro da distribuição.

Ou seja, é comum haver um grande número de elementos com valores próximos à média e poucos indivíduos apresentando valores extremos, isto é próximos aos valores mínimo e máximo.

Assim, de modo geral, se houver a necessidade ou interesse em apresentar informações de um conjunto de dados na forma resumida devemos apresentá-los em forma de medidas de tendência central.

Pode-se, portanto, estudar os valores numéricos que determinam a distribuição, procurando o ponto onde está a maior concentração de valores individuais, ou seja, as medidas de tendência central.

Delas, as mais importantes em estatística são: Média, Mediana e Moda. (topo)


Média

Há vários tipos de média (aritmética - simples ou ponderada, geométrica, harmônica, quadrática, cúbica, biquadrática).

A mais usada é a média aritmética simples ou, simplesmente, média, que é obtida dividindo-se a soma das observações pelo número delas. É um quociente geralmente representado pela letra M ou pelo símbolo (lê-se "x barra").

Média de dados puros

Se tivermos uma série de N valores de uma variável x ( x1, x2, x3, x4, ... xn ) a média será determinada pela expressão:

= (x1 + x2 + x3 + x4 +...+ xn) / N = x / N


Supondo os seguintes dados, já ordenados:

4 5 6 6 6 7 7 7 8 8
9 9 9 9 9 10 10 10 10 11
12 12 12 12 12 13 13 13 13 14
14 15 15 15 15 15 16 17 18 19
19 19 20 20 21 22 23 24 25 26


= / N = 664 / 50 = 13,28

Para saber como efetuar os cálculos no BrOffice.org Calc, quando se tem todos os dados individuais, clicar aqui.

Lembrar que refere-se à média da amostra (com n elementos) e deve ser distinguida da média da população, (com N elementos). (topo)

Média de dados agrupados

Como calcular a média se os dados estiverem agrupados em uma tabela de distribuição de frequências?

Evidentemente, a frequência tem que ser incluída no cálculo da média, que passa a ser:

Média = = fx / n

que pode ser assim calculada:

x
 f fx
4 1 4
5 1 5
6 3 18
7 3 21
8 2 16
9 5 45
10 4 40
11 1 11
12 5, sub total: 25 60
13 4 52
14 2 28
15 5 75
16 1 16
17 1 17
18 1 18
19 3 57
20 2 40
21 1 21
22 1 22
23 1 23
24 1 24
25 1 25
26 1 26
Totais 50 664

f = N fx
Média: 664/50 13,28
(topo)


Mediana

A mediana ocupa a posição central de uma série de dados ordenados.

é o próprio valor central se a houver um número ímpar de valores na série ou

é a média aritmética dos dois valores centrais quando o número de valores da sequência for par.

É absolutamente necessário que os valores estejam dispostos em ordem (crescente ou decrescente) de magnitude. Ou seja, a mediana divide os dados: 50% dos valores estão abaixo e 50% estão acima da mediana.

Portanto, mediana é o valor que divide uma série ordenada de modo que pelo menos a metade das observações sejam iguais ou maiores do que ela, e que haja pelo menos outra metade de observações maiores do que ela.

Chama-se de EMd o elemento mediano, aquele que indica a posição da mediana.


Mi
0---------------Q1---------------Q2---------------Q3--------------Q4

A mediana é representada pelo símbolo Mi e, evidentemente, coincide com o segundo quartil (Q2).

Na amostra acima, em que há 50 valores a mediana é a média dos 2 valores centrais (12 e 13) portanto é 12,5. (topo)


Mediana de dados não agrupados

Se houver um número ímpar de valores ordenados é só verificar o valor que ocupa a posição central. Se houver um número par de valores ordenados toma-se a soma dos 2 valores que estão nas posições centrais e divide-se por 2.

Mediana de dados agrupados

Os mesmos dados anteriores foram agrupados nas seguintes classes:


Classes
Frequência
Frequência acumulada
4 - 7
8
8
8 - 11
12
20
12 - 15 *
16
36
16 - 19
6
42
20 - 23
5
47
24 - 27
3
50

A posição da mediana ( Mi ) deverá corresponder à observação de ordem N/2.

Neste exemplo a posição será 50/2 = 25. Ou seja, deverá estar na classe de 12-15, ocupando a 25a. posição, de acordo com a seguinte fórmula:

Mi = li + [(N/2 - fa) / fc . i]

em que:

Mi = mediana
li = limite inferior da classe que deve conter a Mi
N = total
fa = frequência acumulada anterior à classe que deve conter a Mi
i = intervalo de classe
fc = frequência da classe que deve conter a Mi

Portanto:

Mi = li + [(N / 2 - fa) / fc . i]
= 12 + [( 50 / 2 - 20) / 16 . 4] = 12 + 0,3125 . 4 = 12 + 1,25 = 13,25


Para facilitar os cálculos utilize uma planilha especial:

Mediana em amostras com até 25 classes
com dados classificados

Copie a planilha comprimida em formato xls ou como ods
 
(topo)

Média e Mediana

Como se pode interpretar a Mediana e a Média?

É preciso lembrar , primeiramente, que a Mediana pode ser usada tanto para variáveis quantitativas intervalares como para variáveis qualitativas ordinais, enquanto a Média só pode ser utilizada para variáveis intervalares.

Em segundo lugar, no caso das variáveis quantitativas, embora a Média seja um valor mais fácil de entender, tem o defeito de nos induzir em erro se a amostra contiver valores muito extremos.

Por exemplo, supondo uma amostra A em que foi estudada a idade de 7 indivíduos (1 a 7), em meses.

Mas, se o último elemento for 350, ao invés de 70, seria obtida a amostra B:

Posição 1 2 3 4 5 6 7 Total Média Mediana
A 10 20 30 40 50 60 70 280 40 40
B 10 20 30 40 50 60 350 360 80 40

Deve-se notar que

O valor da média é igual ao da mediana na amostra A, (40)

As medianas são iguais em ambas as amostras (40)

Mas, em B, a média saltou para 80, ou seja, ficou superior à maioria dos valores individuais.

Observando os 7 valores individuais da amostra, verifica-se que o número 40 é melhor representante da distribuição global da idade na amostra que o número 80.

Assim, no caso de variáveis quantitativas, quando o valor da mediana é muito diferente da média, é aconselhável considerar sempre a mediana como valor de referência mais importante, pois a média aritmética pode ser distorcida por valores discrepantes, o que se comprova ao observar na tabela que a idade do indivíduo 7 está bem distante da maioria dos outros.

Portanto, pode-se concluir que:

A média reflete o valor de todas as observações e se a distribuição dos dados for aproximadamente simétrica a média tem valor próximo ao da mediana.

A mediana é mais robusta do que a média como medida de localização, pois é menos sensível a alguns dados chamados de "outliers", ou seja, aos valores muito maiores ou muito menores do que os restantes.

Quando a distribuição está enviesada para a esquerda (há alguns valores pequenos como "outliers"), a média tende a ser inferior à mediana. O oposto acontece quando a distribuição está enviesada para a direita, nesse caso a média tende a ser maior que a mediana, pois há alguns valores grandes como "outliers". (topo)


Moda

É o valor amostral que tem a maior frequência, ou seja, é o encontrado em maior número de vezes, portanto, é a observação mais "provável" da distribuição dos dados. É representada pela notação Mo e também é chamada de "Modo".

Portanto, numa amostra a moda pode não existir. E uma distribuição em que não há elementos repetidos é dita amodal.


Também deve-se considerar que a moda pode não ser única. Se dois valores aparecem em igual quantidade de vezes a distribuição é dita bimodal. Para três valores, trimodal, e assim, sucessivamente.

Importante é notar que se existe apenas uma moda em uma amostra, há apenas um grupo de indivíduos com suas variações, ou seja, a amostra é homogênea.

Mas, se houver duas ou mais modas, há grupos diferentes dentro daquela amostra. Diz-se, então, que a amostra é heterogênea. (topo)



Métodos para calcular a moda


Simples inspeção

Verifica-se qual é a classe que tem a maior frequência. Essa classe se constitui na moda.
Se os dados estão agrupados a moda é o ponto médio da classe que tem a maior frequência.
Note-se que uma amostra pode ter uma moda ou mais (diz-se que a curva é unimodal, bimodal, trimodal...)

Processo empírico

Em distribuições moderadamente assimétricas pode ser usada a fórmula de Pearson, sendo que:

Mo = 3 Mi - 2M

Como a média = x / N = 664 / 50 = 13,28.
Portanto, Mo = 3 . 13,25 - 2 . 13,28 = 39,75 - 26,56 = 13,19


Processo gráfico


Usa-se o histograma gerado pelos dados, passando-se dois segmentos de reta entre o vértice esquerdo da maior coluna e o vértice direito da coluna seguinte e entre o vértice direito da maior coluna e o vértice esquerdo da coluna anterior. No ponto onde as retas se cruzam traça-se uma perpendicular à abcissa e o valor encontrado no eixo dos X é a moda. (topo)


Medidas Separatrizes: Mediana, Quartis, Decis e Percentis

Lembrando que se um conjunto de dados é ordenado em ordem de grandeza, o valor médio que divide o conjunto em duas partes iguais é a mediana, pode-se pensar em valores que dividam o conjunto em: quatro, dez ou cem partes iguais.

O Quartil é a medida que divide o conjunto em quatro partes iguais. Assim, para dividir uma reta em quatro partes, é necessário marcar três pontos. Então, haverá sempre três Quartis em um conjunto, que serão denominados por Q1 (primeiro quartil), Q2 (segundo quartil) e Q3 (terceiro quartil).

O Decil, por sua vez, que divide o conjunto em dez partes iguais (D1, D2, ..., D9). Daí se conclui que haverá, em um conjunto, nove decis.

Já o Centil (ou Percentil), é a medida separatriz que divide o conjunto em cem partes iguais. Portanto em um conjunto, haverá noventa e nove Centis (P1, P2, ..., P99).



Portanto, Q2, D5 e P50 correspondem à mediana, da mesma forma que P25 e P75 correspondem a Q1 e Q3, respectivamente. (topo)


Medidas de dispersão


Variação ou dispersão é o grau com que os dados numéricos tendem a se espalhar em torno de um valor médio. Ou seja, medidas de dispersão são indicadores do grau de variabilidade demonstrada pelos indivíduos em torno das medidas de tendência central.

Para estudar a variação há várias medidas já definidas. Dentre elas destacam-se a variância e o desvio padrão. (topo)


Variância

A variância, representada por s2, e é definida como o "desvio quadrático médio da média".


Note-se que como a variância mede os desvios em relação à média (ou seja, a diferença entre cada dado e a média) e avalia o grau de dispersão de um conjunto de dados.


Considere 3 amostras, A, B e C, com médias iguais, em que o comprimento de um órgão (em mm) foi anotado.


amostra
soma média
A 160 162 165 168 172 175



1002 167
B 160 161 162 168 170 173 175


1169 167
C 160 162 163 164 165 167 170 171 173 175 1670 167


É importante notar que as amplitudes ( 175-160 = 15 ) e as médias (= 167) são iguais nas 3 amostras.

Para analisar a dispersão dos dados em torno da média, em cada amostra, obtém-se o desvio em relação à média (x – ) e as suas somas.

É importante notar que não há média dos desvios (x-), porque a sua soma em cada amostra é sempre igual a zero.

Assim, também se obtém os quadrados dos desvios (x – )2 e as suas somas:

A

desvio

desvio2

B

desvio

desvio2

C

desvio

desvio2


(x-)

(x-)2


(x-)

(x-)2


(x-)

(x-)2

160

-7

49

160

-7

49

160

-7

49

162

-5

25

161

-6

36

162

-5

25

165

-2

4

162

-5

25

163

-4

16

168

1

1

168

1

1

164

-3

9

172

5

25

170

3

9

165

-2

4

175

8

64

173

6

36

167

0

0




175

8

64

170

3

9







171

4

16







173

6

36







175

8

64

1002

0

168

1169

0

220

1670

0

228


Ressalte-se que apesar da dispersão dos dados em torno da média ser a mesma nos 3 grupos, a soma dos quadrados dos desvios (x - )2 é maior no grupo C, pois é o que possui maior número de dados.

Mas, para medir a dispersão dos dados em relação à média, deve-se usar a variância, ( s2), pois o valor obtido leva em consideração o tamanho da amostra.

A fórmula geral da variância é
( s2) = soma de quadrados dos desvios / ( n - 1).


Como a mostra A tem 6 elementos a variância é assim calculada: 168 / 5 = 33,6.

Do mesmo modo, para a amostra B = 220/ 6 = 36,67 e para a amostra C = 228/9 = 25,33.


Fórmulas

Considerando uma série de N valores de uma variável x ( x1, x2, x3, x4, ... xn ), com média , a variância pode ser determinada por:
s2 = ( xi - )2 / (N - 1)
s2 =(xi2) - N 2 / (N - 1)
s2 = x2 - [(x)2 / N] / (N - 1)

Assim, a variância é a medida que se obtém somando os quadrados dos desvios das observações da amostra, relativamente à sua média, e dividindo pelo número de observações da amostra menos um.

É importante notar que:

a variância nunca é negativa, porque os quadrados são sempre positivos ou nulos. Assim, a unidade de variância é o quadrado da unidade de observação. (Exemplo: a variância de um conjunto de alturas medidas em centímetros será dada em centímetros quadrados).

se todas as médias das amostras forem iguais, o valor da variância da média seria igual a zero.

quanto maior for a variância menor é o grau de concentração dos indivíduos na amostra

Exemplo:

Apenas como exemplo, suponha que duas amostras apresentaram os seguintes valores de largura de um órgão, em cm:

A = 8, 10, 12, 14 e 16
B = 4, 8, 12, 16 e 20



Cálculo da variância de dados puros

Quando se tem todos os dados individuais, ainda sem nenhum tratamento, portanto sem agrupamento em classes, pode-se obter o quadrado dos valores individuais e das duas somatórias.

Exemplo:

Considere 2 amostras, A e B, com 5 dados cada:

Amostras
A

B

x x2
x x2

8 64
4 16

10 100
8 64

12 144
12 144

14 196
16 256

16 256
20 400
Total 60 760
60 880

Pode-se calcular a variância do seguinte modo:

Variância A = s2A = x2 - [(x)2 / N] / (N - 1) = [760 - (602 / 5)] / 4 =
= (760 - 720) / 4 = 10

Variância B = s2B = x2 - [( x)2/ N] / (N - 1)
= [880 - (602 / 5)] / 4 = (880 - 720) / 4 = 40

Notar que na amostra A os indivíduos estão mais concentrados, distribuindo-se entre o valor mínimo = 8 e o máximo = 16

E, na amostra B estão mais dispersos (distribuindo-se ente 4 e 20).

Assim, na amostra A a variância ( s2A = 10) é menor que a da B ( s2B = 40).

Exercício

Acessar a lista de exercícios 1g. Responder a questão 6. (topo)


Desvio Padrão

O desvio padrão é obtido simplesmente encontrando-se a raiz quadrada do valor obtido para a variância. É representado por s.


Utilizando os dados do exemplo anterior:

sA = raiz s2 A = raiz 10 = 3,16
sB = raiz s2 B = raiz 40 = 6,32


No caso da variância lida-se com unidades ao quadrado, representando uma grandeza em duas dimensões.

Para ter uma medida da variabilidade ou dispersão usa-se o desvio padrão que tem a mesma unidade dos dados originais. É um desvio médio em relação à média do conjunto de dados.

É importante notar, portanto, que quando se fala de desvio padrão ou de variância, fala-se de medidas de dispersão, que diferem apenas por uma transformação matemática, ou seja, diferem somente em um ajuste de escala.

Pela sua própria definição nota-se que o desvio padrão é uma medida que só pode assumir valores não negativos e que, quanto maior for, indicará mais variabilidade nos dados e que maior será a dispersão deles. (topo)


Média, variância e desvio padrão em dados classificados

Como calcular a variância e o desvio padrão se não tivermos todos os dados individuais, ou seja, quando a mostra está dividida em classes?

Por exemplo, supondo que na literatura tivéssemos obtido os dados sobre as frequências dos intervalos de classes apresentados para a característica idade:

Idade
f
Como seria possível calcular,
a partir apenas desses dados:

a. média
b. variância
c. desvio padrão

4 a 7
0
8 a 11
2
12 a 15
1
16 a 19
3
20 a 23
8
24 a 27
11

Há um método fácil. Primeiramente calcula-se o valor central de cada intervalo de classe (x).

Limites
Centro x
f
fx
x2
fx2
4 a 7
5,5
0
0,00
30,25
0,00
8 a 11
9,5
2
19,00
90,25
180,50
12 a 15
13,5
1
13,50
182,25
182,25
16 a 19
17,5
3
52,50
306,25
918,75
20 a 23
21,5
8
172,00
462,25
3698,00
24 a 27
25,5
11
280,50
650,25
7152,75
Total
25
537,50
1721,50
12132,25

E calcula-se:

Média = fx / n = 537,50 / 25 = 21,50
Variância = s2 = fx2 - [(fx)2 / N]} / (N - 1) = [12132,25 - (537,502 / 25)] / 24 = 24,00
Desvio padrão = s = raiz s2 = raiz 24,00 = 4,8990


Para facilitar os cálculos utilize uma planilha especial:

Média, Variância e Desvio Padrão em amostras com até 25 classes
com dados classificados

Copie a planilha comprimida em formato xls ou em ods
(topo)


Outras medidas de dispersão


A amplitude de um conjunto de números é a diferença entre o maior e o menor dos números do conjunto. É a medida mais simples que já mostra a dispersão dos dados.

Coeficiente de variação

Representando-se a dispersão absoluta pelo desvio-padrão (s), define-se a seguinte dispersão relativa, chamada de coeficiente de variação, como a razão entre o desvio padrão e a média amostral:

C = s /

O C ( ou CV ou V) é geralmente expresso em porcentagem.

É importante notar que esse coeficiente é independente das unidades de medida usadas, por isso é útil para comparar distribuições, mesmo que as unidades das variáveis sejam diferentes. (topo)


Simetria e Assimetria


As distribuições de frequências não diferem apenas quanto ao valor médio e à variabilidade. Deve-se considerar também a sua forma, que pode ser simétrica ou assimétrica. Assim, uma das características mais importantes de uma distribuição de frequências é a simetria ou a falta dela.

Simetria: diz-se que uma distribuição de frequências é simétrica quando a média, mediana e moda são iguais, ou seja, coincidem num mesmo ponto, apresentando o mesmo valor.

Assimetria: Já, quando a média, mediana e a moda apresentam valores diversos, caindo em pontos diferentes da distribuição, diz-se que a distribuição de frequências é assimétrica.

O deslocamento desses pontos pode acontecer para a direita ou para a esquerda. Portanto, quanto ao grau de deformação, uma curva de frequência de uma distribuição unimodal pode ser:

Simétrica
Assimétrica Positiva
Assimétrica Negativa

 Simétrica - Tem um só "pico" e apresenta o máximo de frequência no centro, diminuindo gradativamente em ambos os lados, até atingir valores extremos da escala.


Nesse caso, Média = Mediana = Moda (M = Mi = Mo).


Também é chamada de campanular ou em forma de sino ou, ainda, por curva normal ou curva de Gauss.
Assimétrica Negativa - Tem um só "pico". A moda apresenta-se no máximo de frequência, sendo maior que a mediana e a média.

Nesse caso, M < Mi < Mo, ou seja a moda é o maior valor dos 3 promédios.
Assimétrica Positiva - Tem um só "pico". A moda apresenta-se no máximo de frequência, sendo menor que a mediana e a média.

Nesse caso, Mo < Mi < M, ou seja a média é o maior valor dos 3 promédios.
(topo)


Curva normal - uma curva unimodal simétrica

Se desenharmos uma curva com os valores amostrados e obtivermos uma curva unimodal simétrica, em forma de sino, sabe-se que média, moda e mediana estão no ápice da curva, sendo que a distribuição de valores maiores que a média e a dos valores menores que a média é especular.

É importante lembrar que:

Símbolos usados
Amostra
População
Média
M ou
Desvio padrão
s


Assim, se passarmos uma reta exatamente no meio da curva e chamarmos de zero a intersecção entre elas ( ponto onde está a média ) e se for utilizada uma escala com o número de desvios padrão no eixo dos X, ou seja valores positivos do desvio padrão à direita: +1, + 2, + 3 e valores negativos para a esquerda: -1, -2, -3 serão encontrados os seguintes valores de probabilidade:

Sub-área da curva
População Amostra Probabilidade
± 1 ± 1s 68,26 %
± 2 ± 2s 95,44 %
± 3 ± 3s 99,74 %

(Se desejar saber como esses valores de probabilidade foram obtidos, clicar aqui).


Importante é notar que ao estudar uma variável com distribuição normal em duas ou mais amostras em geral é necessário saber se uma amostra difere significativamente das outras, ou seja, se elas podem ser consideradas como extraídas da mesma população.

Como a distribuição normal é determinada pela média e desvio padrão (ou variância) é óbvio que se as médias e variâncias de 2 ou + amostras não diferirem significativamente pode-se aceitar que elas foram extraídas da mesma população. (topo)

Assimetria


A assimetria, representada pela notação "As" é característica das distribuições deformadas.

Pearson propôs a seguinte fórmula de cálculo:

As = ( - Mo) / s


Entretanto, a assimetria pode dar-se na cauda esquerda ou na direita da curva de distribuição de frequências, pois, se

As > 0: a distribuição é assimétrica positiva (à direita)
As < 0: a distribuição é assimétrica negativa (à esquerda)


Curva ou Distribuição de Frequências com Assimétrica Positiva

Neste caso a cauda é mais alongada à direita da ordenada máxima (ordenada correspondente à moda) e a média aritmética apresenta um valor maior do que a mediana, e esta, por sua vez, tem valor maior do que a moda. Há uma predominância de valores superiores a moda.

> Mi > Mo


Curva ou Distribuição de Frequências com Assimétrica Negativa

Neste caso a cauda é mais alongada à esquerda da ordenada máxima e predominam valores inferiores à moda.

De forma geral, quanto mais o valor se afastar do zero tanto maior será o grau de assimetria da curva. 


Exemplo:

Usando os dados numéricos anteriores e sabendo-se que o desvio padrão é 5,58, calcule a simetria

As = (13,28 -13,19) / 5,58 = 0,0161
(topo)



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Última alteração: 24 mar 2011