Biometria
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Regressão e Correlação

(Leitura complementar ao capítulo 7)

Sumário:
Coeficiente de associação
Coeficiente de correlação linear de Pearson
Existe Correlação?
O que é correlação e regressão
Proporcionalidade: Direta e inversa
Regressão múltipla
Reta de regressão

O que é correlação e regressão

Diz-se que existe correlação entre duas ou mais variáveis quando as alterações sofridas por uma delas são acompanhadas por modificações nas outras.

Ou seja, no caso de duas variáveis x e y os aumentos (ou diminuições) em x correspondem a aumentos (ou diminuições) em y.

Assim, a correlação revela se existe uma relação funcional entre uma variável e as restantes.

Note-se que a palavra regressão em Estatística corresponde à palavra função em Matemática. Ou seja, enquanto o matemático diz que y é função de x, o estatístico fala em regressão de y sobre x.

Reta de regressão

Uma função muito interessante é a que representa a linha reta, cuja expressão matemática é

y = a + bx em que
y =	variável dependente
x =	variável independente
a =	constante = intercepto (ponto em que a reta corta o eixo dos y)
b =	constante = coeficiente de regressão

sendo que o intercepto a pode ser calculado a partir de:

a = – b.

Ressalte-se que necessariamente o ponto determinado pela média das variáveis está contido na reta.

A melhor reta que descreve a regressão
(Se desejar mais detalhes sobre como criar gráficos de retas, clique aqui).

Supondo uma amostra em que um caráter métrico tenha a seguinte distribuição de idades e larguras de um órgão:

Idade (x)	Largura (y)
1	30	Em que:
2	40	total de larguras = 520
3	50	total de idades = 36
4	60
5	70	média de larguras = 65
6	80	média de idades = 4,5
7	90
8	100	Supondo a = 20 e b = 10

Quando se deseja desenhar uma reta , para facilitar, atribui-se 2 valores de x próximos aos extremos dos dados. Depois, usa-se esses valores na equação:

y = + b.(x - )

Portanto,

para a idade x = 1 ano, largura: y = 65 + 10 (1 - 4,5) = 30
para a idade x = 8 anos, largura: y = 65 + 10 (8 - 4,5) = 100

E chega-se ao seguinte gráfico:

Essa reta, que passa pelos pontos médios dos valores de x e y é a melhor reta que descreve a regressão.

Evidentemente, pode-se usar o mesmo processo em gráficos feitos em programas computacionais. (No Calc veja como criar gráficos clicando aqui.)

Proporcionalidade: Direta e Inversa

Quando se observa o coeficiente de regressão b e o sentido da reta pode-se concluir se existe correlação entre as variáveis e qual é o sentido da correlação.

Nesse caso, verifica-se que a aumentos na variável Idade ( x ) correspondem aumentos na variável Largura do órgão ( y ). Assim sendo, elas têm o mesmo sentido de variação. Essa é uma correlação positiva.

Evidentemente, uma correlação será negativa quando a aumentos na variável x corresponderem diminuições na variável y. Nesse caso, as variáveis estudadas variam em sentidos opostos.

Paralelamente, percebe-se que quando a reta de regressão em y é paralela ao eixo dos x ( b = 0 ) não há correlação. Portanto, para que exista correlação é necessário que a reta corte o eixo dos x em algum ponto (b

0 ). Assim, quando há correlação, a reta de regressão em y não é paralela ao eixo dos x.

Existe correlação?

Para se decidir sobre a existência de correlação e o sentido da variação da reta de regressão, calcula-se b e o erro de b.

Depois efetua-se um teste t, testando as seguintes hipóteses:

, ou seja, H. Nula: a reta de regressão em y é paralela ao eixo dos x

, isto é, H. Alternativa: a reta de regressão em y não é paralela ao eixo dos x.

Como calcular

Recordando que as somatórias de quadrados (SQ) e de produtos (SP) são calculadas por:

SQx = x²– [(x)² / n]

SQy = y²– [(y)²/ n]

SP =(x.y) – n..

O coeficiente de regressão, b, pode ser calculado a partir de várias fórmulas:

b = [(x – ) (y – )] / (x – )²

b = ((x.y) – n.. ) / x²– [(x)²/n]

b = SP / SQx

O erro de b também pode ser calculado de maneiras diferentes:

s_b= raiz (s_yx / SQy) ou

s_b= raiz {(SQy – b.SP) / [SQx (n – 2)]}

Para se testar a significância de b, ou seja, para testar se b pode ser considerado ou não como significativamente diferente de zero, calcula-se t, com GL = n - 2, sendo:

t = b / s_b

Para encontrar o t crítico, consulta-se a tabela de t, e obedece-se o seguinte critério:

t < t_c
t não é significativo
b não é significativamente diferente de 0
(a reta é paralela ao eixo dos x)

t_c

t > t_c
t é significativo
b é significativamente diferente de 0
(a reta não é paralela ao eixo dos x)

Portanto:

1. Se t não for significativo os caracteres não estão correlacionados: ( t = 0)

Se t for significativo os caracteres estão correlacionados: ( t0)

2. Sendo t 0, se b < 0 a correlação é negativa. Os caracteres variam em sentidos opostos.

Sendo t 0, se b > 0 a correlação é positiva. Os caracteres variam no mesmo sentido.


ausência de correlação	correlação positiva	correlação negativa
t = 0, qualquer b	t0, b > 0	t0, b < 0
Não há sentido de variação	As variáveis variam no mesmo sentido	As variáveis variam em sentidos opostos

Exemplo: Os seguintes dados foram obtidos amostrando dimensões do mesmo órgão de 10 indivíduos.

comprimento	x	40	25	65	75	65	40	50	40	15	25
largura	y	25	15	50	65	50	25	40	40	15	15

que geraram os seguintes valores:

x	440	y	340	n	10
	44		34	(x.y)	17950
x²	22850	y²	14350	n..	14960
x²/ n	19360	y²/ n	11560	SP	2990
SQx	3490	SQy	2790	SP²	8940100
s²_x	387,78	s²_y	310

Exercício: Confira os cálculos abaixo e complete as seguintes frases:

1. Existe correlação entre os caracteres da amostra? Porque?

b = SP / SQx = 2990 / 3490 = 0,86

s_b= raiz (SQy - b.SP) / [SQx (n -2)]
= raiz (2790 - 0,86 2990) / [3490 (10 -2)] = 0,09

t = b / s_b = 0,86 / 0,09 = 9,556.

Após ter o valor de t, consulta-se a tabela de t para se chegar ao valor de t_c.

Sendo que: G.L. = _____________ t_c = _____________ com P ___ 0,001

Resposta: Sendo t = ____________ sua probabilidade é _____________ . Como t é _____________ (maior - menor) que t_c ( t_c = _____________ ), conclui-se que t _____________ (é - não é) significativo, portanto, _________ (há - não há) correlação entre as variáveis x e y.

Como b é _____________ (igual a - diferente de) zero, a reta será _____________ (paralela - não paralela) ao eixo dos x e _____________ (ascendente - descendente), já que b é _____________ (positivo - negativo).

2. Qual o sentido da variação desses caracteres?

A correlação é _____________ (positiva - negativa) , pois b ( _____________ ) é _____________ (positivo - negativo). Portanto, o comprimento e a largura desse órgão variam _____________ (no mesmo sentido - em sentidos postos), ou seja são ______________________ (diretamente - inversamente) proporcionais.

3. Qual a reta de regressão que melhor se ajusta aos dados da amostra?

Atribui-se 2 valores extremos de x, e substitui-se em y = + b.(x - ) . Por exemplo:

para x = 10, y = 34 + 0,86.(10 - 44) = 4,8 e
para x = 80, y = 34 + 0,86.(80 - 44) = 65,0

Com esses valores crie o melhor gráfico que representa esses dados. (Veja como clicando aqui).

Para facilitar os cálculos utilize uma planilha especial:

Regressão e Correlação
Copie a planilha comprimida em formato livre ods

Coeficiente de correlação linear de Pearson ( r )

Pode ser obtido a partir de diferentes fórmulas:

r =	n .(x.y) - (x) (y) / raiz [n.x²- (x)²] [ n.y²- (y)²]
r =	( (x.y) - n.. ) / [( n - 1).x.y]
r =	raiz ( b.SP / SQy )
r =	b.(x /y)

Observando as duas últimas fórmulas rapidamente percebe-se que se não houver correlação entre x e y, ou seja, se r = 0, então b = 0 e a reta será paralela ao eixo dos x.

O coeficiente r varia entre -1 e +1. Portanto, a correlação pode ser:

-1	-0,95	-0,50	-0,10	0	0,10	0,50	+0,95	+1
neg	neg	neg	neg	ausência	pos	pos	pos	pos
perfeita	forte	moderada	fraca		fraca	moderada	forte	perfeita

Para testar a significância usamos um teste t. Estabelecemos as hipóteses:

, ou seja, H. Nula: Não há correlação entre as variáveis x e y.

, isto é, H. Alternativa: Há correlação entre as variáveis x e y.

Calcula-se t, com GL = n-2, por meio da seguinte fórmula:

t = r . raiz [(N - 2) / (1 - r² )]

Coeficiente de determinação

O coeficiente de determinação é simbolizado por r² e indica quanto da variação total é comum aos elementos que constituem os pares analisados.

Assim, a qualidade da regressão é indicada por este coeficiente.

r² = Variação explicada de Y / Variação total de Y

É importante notar que r² varia entre 0 (zero) e 1 (um).

Evidentemente, quanto mais próximo da unidade for o coeficiente de Determinação, tanto maior será a validade da regressão.

Exemplo 1:

Supondo que numa certa amostra tivessem sido obtidos os seguintes valores:

b = 0,86; SP = 2990; SQy = 2790

Estima-se r = raiz ( b.SP / SQy ), r = raiz ( 0,86.2990 / 2790), r = 0,96

Portanto, r² = 0,92

1 - 0,92 = 0,08, ou seja 8%

Assim, pode-se dizer que apenas 8% da variância da regressão não depende das variáveis estudadas.

Exemplo 2:

Dados obtidos de 7 pares de pai-filho, amostrando o número de anos de escola cursados pelo pai (x) e o número de anos de escola cursados pelo filho (y). Qual é o valor do coeficiente de correlação entre esses dados? Qual é o seu significado?

x	x²	y	y²	x.y
12	144	12	144	144
10	100	8	64	80
6	36	6	36	36
16	256	11	121	176
8	64	10	100	80
9	81	8	64	72
12	144	11	121	132
x = 73	x² = 825	y = 66	y² = 650	(x.y) = 720

r = N .xy - (x) (y) /raiz [ N.x²- (x)²] [ N.y²- (y)²]

r = 7 . 720 - 73 . 66 / raiz [ 7 . 825 - (73)² ] [ 7 . 650 - (66)²]

r = + 0,754

Para testar a significância usamos um teste t. Estabelecemos as hipóteses:

t = r . raiz [(N - 2) / (1 - r² )]

t = [+ 0,754. raiz[(7-2)] / (1 - 0,754² )], portanto, t = 2,581

Verificando a tabela de t, com GL = 5 e a = 5%, t₅ = 2,571

Conclui-se que como t calculado é maior que t_c, pode-se rejeitar a hipótese nula ( r = 0 ) e aceitar a hipótese alternativa em que r0, admitindo-se que o número de anos de escola cursados pelo pai está positivamente correlacionado ( r = + 0,754 ) ao número de anos de escola cursados pelo filho nesta amostra.

Como r² = 0,5685 e 1 - 0,5685 = 0,4315, pode-se dizer que nessa amostra, o número de anos de escola cursados pelo pai explica 56,85% da variância do número de anos de escola cursados pelo filho. Assim, 43,15% da variância da regressão depende de outras variáveis, não estudadas aqui.

Coeficiente de associação

Para verificar se dois caracteres qualitativos são interdependentes pode-se:
- empregar um teste de

- calcular o coeficiente de associação.

Yule propôs esse coeficiente e o chamou de Q , para homenagear um pioneiro da Estatística, Lambert A. J. Quételet (1796-1874).

Monta-se uma tabela 2 x 2 e designa-se as células pelas letras a, b, c e d, ficando a-d e b-c nas diagonais.

a	b
c	d

Obtém-se o coeficiente de associação Q por meio de:

Q = (ad - bc) / (ad + bc)

O desvio padrão de Q é obtido por:

s = (1 - Q² ) / 2 raiz (1/a + 1/b + 1/c +1/d)

O intervalo de confiança de 95% de Q é obtido por:

Q ± t.s

Exemplo:
Supondo que a distribuição de 200 pacientes adultos (92 homens e 108 mulheres) segundo as formas maligna e benigna de uma doença foi:

Forma / Sexo	Homens	Mulheres	Total
Maligna	60 a	40 b	100
Benigna	32 c	68 d	100
Total	92	108	200

Q = (ad - bc) / (ad + bc) = (60 x 68) - (40 x 32) / (60 x 68) + (40 x 32)
Q = ( 4080 - 1280 ) / ( 4080 + 1280 ) = 2800 / 5360
Q = 0,5224

O desvio padrão de Q é obtido por:

s = (1 - Q² ) / 2 . raiz (1/a + 1/b + 1/c +1/d)
s = (1 - 0,5224² ) / 2 . raiz (1/60 + 1/40 + 1/32 +1/68)
s = 0,3635 . raiz (0,0167 + 0,0250 + 0,0312 + 0,01470)
s = 0,3635 . raiz 0,0876 = 0,3635 . 0,2960 = 0,1076

O intervalo de confiança de 95% de Q é obtido por:

Q ± t.s = 0,5224 ± 1,96 x 0,1076

Portanto,o valor mínimo é 0,3115 e o valor máximo é 0,7333

Como o valor calculado de Q (0,5224 ) se encontra entre esses 2 valores ( 0,3115 e 0,7333 ), conclui-se que existe associação entre o sexo e as formas da doença, estando o sexo masculino associado à forma maligna, pois nesse sexo há maior freqüência dessa forma.

Regressão múltipla

Quando se quer investigar se uma variável está correlacionada concomitantemente a várias outras, considera-se a primeira como variável dependente e as outras como variáveis independentes, e aplica-se aos dados a seguinte fórmula:

y = a + b₁x₁ + b₂x₂+ b₃x₃+b₄x₄+ ... + b_nx_n

em que:

y = é a estimativa da variável dependente
x = variável independente
a = constante = intercepto múltiplo
b = constante = coeficientes de regressão

A análise de regressão múltipla é trabalhosa pois envolve a construção e multiplicação de matrizes tanto maiores quanto maior for o número de variáveis independentes analisadas. Assim, é necessário realizar tal análise em computadores. Portanto, aqui nos preocupamos com a interpretação de resultados de análise de regressão múltipla.

Exemplo
Em uma amostra de 36 hansenianos de sexo masculino tentou-se verificar se a quantidade de um certo medicamento presente no sangue 6 hs após a sua ingestão (variável dependente) está correlacionada com idade, peso corporal, duração da doença, anos de sulfonoterapia, valor do hematócrito, taxa de hemoglobina, nível de globulinas e nível de albumina (variáveis independentes).

	Quantidade do medicamento no sangue, após 6 hs de ingestão	b	s_b	t₍₂₇₎	P
x₁	idade	-0,0586	0,0542	-1,081	> 0,20
x₂	peso corporal	-0,0145	0,0374	-0,388	> 0,60
x₃	duração da doença	-0,0115	0,0468	0,246	> 0,80
x₄	anos de sulfonoterapia	-0,0894	0,0520	1,719	> 0,05
x₅	valor do hematócrito	-0,2317	0,0990	-2,340	< 0,05
x₆	taxa de hemoglobina	0,00005	0,0318	0,002	> 0,90
x₇	nível de globulinas	0,0695	0,0876	0,793	> 0,40
x₈	nível de albumina	-0,0079	0,0601	-0,131	> 0,80

que GL = N -1 - número de variáveis = 36 -1 - 8 = 27

Conclui-se que o nível sangüíneo desse medicamento, após 6 hs de ingestão depende apenas da variável x_5,valor do hematócrito, pois entre todos os coeficientes de regressão calculados somente o b (-0,2317) dessa variável é significativamente diferente de zero (pois t_{(27) =}-2,340), que determina uma probabilidade menor que 0,05.

Um cuidado a ser tomado antes de se realizar uma análise de regressão múltipla é calcular os coeficientes de correlação de todas as variáveis tomadas aos pares. Sabe-se que se houver duas ou mais variáveis com coeficientes de correlação muito altos (r igual ou superior a 0,95) elas interferirão nos cálculos de regressão múltipla. Se forem encontradas 2 ou mais variáveis nessa condição deve-se escolher apenas uma delas para o processamento da análise de regressão múltipla.

Regressão múltipla escalonada

É um modelo de regressão que permite selecionar as variáveis independentes por ordem decrescente de intensidade de correlação com a variável dependente. Matematicamente se chega à formula do coeficiente de determinação r², que mede o componente da regressão que decorre da variação concomitante das variáveis estudadas. (Como já foi visto, a expressão 1 - r² indica o quanto da variância não depende dessas variáveis em estudo).

Nessa análise se ordena as variáveis independentes de acordo com o valor de bSP. E, depois desse ordenamento se faz a análise de regressão simples da variável dependente sobre a independente que apresentou o maior valor de bSP. Finalmente,inicia-se a análise de regressão múltipla introduzindo as outras variáveis independentes pela ordem de grandeza decrescente do valor de bSP.

Ao final, verifica-se se o acréscimo de r²é significativo ou não por meio de um teste t :

t = (b / s_b)

A tabela que se segue mostra o resultado da análise de regressão múltipla escalonada aplicada aos mesmos dados que foram usados para a tabela anterior.

	Qtdd do medicamento no sangue após 6 hs de ingestão	r²	Acrés- cimo	b	s_b	t₍₂₇₎	P

x₅	valor do hematócrito	0,1750	---------	-0,2317	0,0990	-2,340	< 0,05
x₄	anos de sulfonoterapia	0,3133	0,1383	-0,0894	0,0520	1,719	> 0,05
x₃	duração da doença	0,3155	0,0022	-0,0115	0,0468	0,246	> 0,80
x₇	nível de globulinas	0,3472	0,0317	0,0695	0,0876	0,793	> 0,40
x₂	peso corporal	0,3613	0,0141	-0,0145	0,0374	-0,388	> 0,60
x₈	nível de albumina	0,3615	0,0002	-0,0079	0,0601	-0,131	> 0,80
x₆	taxa de hemoglobina	0,3517	0,0002	0,00005	0,0318	0,002	> 0,90
x₁	idade	0,3882	0,0265	-0,0586	0,0542	-1,081	> 0,20

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Última alteração: 8 nov 2011