Biometria
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Qui Quadrado

(Leitura complementar ao capítulo 3)

Definição

Como calcular

Hipóteses a serem testadas

Hipótese nula: As frequências observadas não são diferentes das frequências esperadas. Não existe diferença entre as frequências (contagens) dos grupos.
Portanto, não há associação entre os grupos

Hipótese alternativa: As frequências observadas são diferentes da frequências esperadas, portanto existe diferença entre as frequências.
Portanto, há associação entre os grupos.

É necessário obter duas estatísticas denominadas calculado e tabelado. (Para ver a tabela de, clique aqui).

As frequências observadas são obtidas diretamente dos dados das amostras, enquanto que as frequências esperadas são calculadas a partir destas.

Assim, o calculado é obtido a partir dos dados experimentais, levando-se em consideração os valores observados e os esperados, tendo em vista a hipótese.

Já otabelado depende do número de graus de liberdade e do nível de significância adotado.

A tomada de decisão é feita comparando-se os dois valores de :
Se calculado > ou = tabelado: Rejeita-se Ho.
Se calculado < tabelado: Aceita-se Ho.

Quando se consulta a tabela de observa-se que é determinada uma probabilidade de ocorrência daquele acontecimento.

Portanto, rejeita-se uma hipótese quando a máxima probabilidade de erro ao rejeitar aquela hipótese for baixa (alfa baixo). Ou, quando a probabilidade dos desvios terem ocorrido pelo simples acaso é baixa.

O nível de significância (alfa) representa a máxima probabilidade de erro que se tem ao rejeitar uma hipótese.

O número de graus de liberdade, nesse caso é assim calculado:

G.L. = número de classes - 1

E, evidentemente, quanto maior for o valor do mais significante é a relação entre a variável dependente e a variável independente.

Exemplo 1:

Se uma moeda não viciada for jogada 100 vezes, espera-se obter 50 caras e 50 coroas, já que a probabilidade de cair cara (p) é = ½ e a de cair coroa (q) também é = ½. Entretanto, na prática, é muito difícil obter valores observados, idênticos aos esperados, sendo comum encontrar valores que se desviam dos teóricos.

Supondo que uma moeda foi jogada 100 vezes e se obteve 60 caras e 40 coroas.
a. Qual será o valor de ?
b. Como se pode interpretar esse valor?

Resolvendo:

As frequências esperadas em cada classe são calculadas por: p.N. Portanto:

E_(cara) = ½ .100 e E_(coroa) = ½ .100

Assim, os valores esperados são: cara: 50 e coroa: 50 e os observados são: cara: 60 e coroa: 40.

= [(60 – 50)² / 50] + [(40 – 50)² / 50]

a. Valor de = 2 + 2 = 4

O que significa esse número? Ou seja, como se analisa um teste de? Supondo que em vez de lançarmos 100 moedas uma única vez, tivéssemos feito inúmeros lançamentos de 100 moedas. Se calcularmos oa cada 100 lançamentos, e, depois, colocarmos todos os resultados em um gráfico, teria sido obtida a figura ao lado. Nota-se que os valores pequenos deocorrem mais frequentemente que os grandes, pois se um experimento puder ser representado pelo modelo teórico proposto, pequenos desvios casuais entre proporções esperadas e observadas ocorrerão em maior número do que grandes desvios. Tomando a área total sob a curva como 100%, sabe-se que o valor 3,841 delimita 5% dela. Este é o valor crítico de qui quadrado conhecido como . Portanto, espera-se em experimentos semelhantes, que valores demenores que 3,841 tenham 95% de probabilidade de ocorrência. Sempre que o valor de for menor que 3,841 aceita-se a hipótese de igualdade estatística entre os números de observados e de esperados (H0). Ou seja, admite-se que os desvios não são significativos.

b. Como se pode interpretar esse valor?

No exemplo dado, como o valor de Qui Quadrado obtido ( 4 ) para 2 classes foi maior que o esperado ao acaso (3,841), aceita-se a hipótese alternativa e admite-se que a moeda seja viciada.

Como usar a tabela

Entretanto, é importante notar que esse raciocínio e decisão só são válidos quando há 2 classes possíveis de eventos. (Como no exemplo dado, em que o lançamento da moeda pode resultar em 2 acontecimentos: cara ou coroa).

Mas, se tivéssemos lançado um dado seriam 6 classes possíveis. Como faríamos, então?

Deve-se consultar uma tabela de e lembrar que, nesse caso:

G.L. = número de classes - 1

A tabela de Qui Quadrado mostra o número de Graus de liberdade nas linhas e o valor da Probabilidade nas colunas.

Na coluna referente a 5% de probabilidade encontra-se o valor crítico de qui quadrado (), com o qual deve ser comparado o valor calculado de.

GL \ P	0,99	0,95	0,90	0,80	...		0,02	0,01	0,001
						0,05
1	0,0002	0,004	0,016	0,064	...	3,841	5,412	6,635	10,827
2	0,020	0,103	0,211	0,446	...	5,991	7,824	9,210	13,815
3	0,115	0,352	0,584	1,005	...	7,815	9,837	11,345	16,266
4	0,297	0,711	1,064	1,649	...	9,488	11,668	13,277	18,467
5	0,554	1,145	1,610	2,343	...	11,070	13,388	15,080	20,515
...
Conclusão	Aceita-se a hipótese de igualdade estatística entre os números de observados e de esperados (H0). Os desvios não são significativos.						Rejeita-se H0 e aceita-se H1. Os números de obs e esp são estatisticamente diferentes. Os desvios são significativos.

E_{(face 1)} = E_{(face 2)} = E_{(face 3)} = E_{(face 4)} = E_{(face 5)} = E_{(face 6)} = p.N = 1 / 6 .186 = 31

a. Qual será o valor de ?

Assim, os valores parciais são somados: e chega-se ao valor de :

observado	34	29	30	32	28	33
esperado	31	31	31	31	31	31
parcial	0,2903	0,1290	0,0322	0,0322	0,2903	0,1290

= ( 0,2903 + 0,1290 + 0,0322 + 0,0322 + 0,2903 + 0,1290) = 0,903

Em tabelas de contingência

Hipótese nula, H₀: Não há associação entre os grupos, ou seja, as variáveis são independentes.

Hipótese alternativa, H_a: Há associação entre os grupos, ou seja, as variáveis são dependentes.

Cálculo dos esperados:

O número de graus de liberdade, quando os dados estão em tabela de contingência é assim calculado:

G.L. = número de linhas - 1 x número de colunas - 1

tabela de

Critério:

Se calculado < tabelado: Aceita-se Ho.

Para calcular os esperados multiplica-se os totais parciais relativos a cada casela e divide-se pelo total geral (N).

Por exemplo, na casela crianças + = 50 x 70 / 150 = 23,3333

Depois calcula-se os qui quadrados parciais.

Por exemplo, na casela crianças + = (o-e)² /e = [(25 - 23,3333)² / 23,3333)] = 0,1190.
Depois, calcula-se a parcela de referente a cada casela.
Ao final, soma-se as parcelas e obtém-se o .

= 0,1190 + 0,0595 + 0,2083 + 0,1042 + 0,8333 + 0,4167. Portanto, = 1,7410

O número de GL em tabelas é assim calculado:

GL = (número de linhas -1) x (número de colunas -1). Portanto:
GL = (2 - 1) x (3 - 1) = 2

Depois, consulta-se a tabela de Qui quadrado e verifica-se que = 5,991.

Como o valor de obtido é menor que o conclui-se que os desvios não são significativos.

Portanto, os indivíduos pertencentes às 3 amostras ( crianças, adolescentes e adultos ) reagem do mesmo modo ao teste sorológico, não havendo influência das diferentes faixas etárias sobre o resultado do teste. Assim sendo, o resultado sorológico independe dos grupos etários.

Correção de Yates (ou Correção de continuidade)

= [( | o -e | - 0,5)²/ e ]

Exemplo 1
Supondo uma coleção de irmandades, com N = 16, filhos de casais com um cônjuge afetado por uma anomalia endógena.

4 dentre os filhos também apresentam a doença.

A característica obedece o padrão de transmissão autossômico, dominante e monogênico?

A genealogia seria:

Em 16 filhos espera-se 8 normais e 8 anormais. Mas foram observados 12 normais e 4 anormais.

Obtém-se o valor de Qui quadrado:

= [(12 - 8)² / 8 + (4 - 8)² / 8] = 2 + 2 = 4

Simplesmente analisando o valor deconcluiria-se que como é maior que (3,841) os desvios não são devidos ao acaso. Portanto, conclui-se que a doença não obedece o padrão de transmissão autossômico, dominante e monogênico.

Entretanto, deve-se reparar que:

N é menor que 40 e
o valor de Qui Quadrado obtido é maior que o crítico

Portanto, deve-se aplicar a correção de Yates:

= [ (| o₁ - e₁ | - 0,5)² / e₁ + (| o₂ - e₂ | - 0,5)² / e₂)]

= [( | 12 - 8 | - 0,5)² / 8 + ( | 4 -8 | - 0,5)² / 8)] = 1,51313 + 1,51313 = 3,062

Para calcular os esperados multiplica-se os totais parciais relativos a cada casela e divide-se pelo total geral (N).

Depois calcula-se os qui quadrados parciais utilizando (o-e)² /e.
Depois, calcula-se a parcela de referente a cada casela.
Ao final, soma-se as parcelas e obtém-se o :

= 0,6333 + 0,8021 + 1,3241 + 1,6772. Portanto, = 4,4367

Como o número de GL em tabelas 2x2 é GL = (2 - 1) x (2 - 1) = 1, percebe-se que é 3,841.
Como obtido é maior que o crítico os desvios não são devidos ao acaso. Portanto, concluiria-se que a alergia depende do sexo.

Entretanto, deve-se reparar que:

N é menor que 40,
o valor de Qui Quadrado obtido é maior que o crítico e
há pelo menos uma classe com número de esperados menor que 5.

Portanto, deve-se aplicar a correção de Yates: = [( | o_n - e_n | - 0,5)² / e_n )]

Teste exato de Fisher

						P
GL / P	0,99	0,95	0,90	0,80	...	0,05	0,02	0,01	0,001
1	.	.	.	.	.	.	.	.	.
2	.	.	.	.	.	.	.	.	.
...	.				.		.	.	.
.	Os desvios não são significativos. As variáveis estudadas são independentes. A associação entre as variáveis é devida ao acaso.						Os desvios são significativos. As variáveis não são independentes. A associação entre as variáveis estudadas não é devida ao acaso.

1. Se houver célula com o valor zero

Exemplo
Supondo a presença de uma determinada enzima em pessoas submetidas a uma reação sorológica:

P = [( G! H! E! F! ) / I! ] x [1 / ( a! c! b! d! )]

P = [(6! 3! 5! 4!) / 9! ] x [1 / (5! 1! 0! 3!)] = 0,0476 = 4,76%

Como esse valor é menor que 5% a hipótese das características serem independentes é rejeitada, dizendo-se que a sua associação não é casual.

2. Se não houver célula com o valor zero

Deve-se:

a. calcular a probabilidade identicamente ao escrito acima
b. construir outra tabela 2x2, subtraindo-se uma unidade dos valores da diagonal que contiver o menor número de casos
e adicionando essa unidade aos valores das caselas da outra diagonal
c. calcular novamente a probabilidade
d. esse processo continuará até que se atinja o valor 0
e. somar todas as probabilidades calculadas

Exemplo
Supondo que os valores obtidos sejam:

P = 0,1828 + 0,0305 + 0,0012 = 0,2145 = 21,45 %

Nesse caso, como o valor encontrado de P é maior que 5%, a hipótese das características serem independentes é aceita, dizendo-se que a sua associação é casual.

Observação: Em tabelas com mais de 2 colunas ou 2 linhas, ou seja, quando G.L. > 1, pode-se utilizar o teste de se o número de caselas com frequência esperada inferior a 5 é menor que 20% do total de caselas e nenhuma frequência esperada for zero.

Heterogeneidade entre amostras

Pode-se testar se amostras diferentes em uma série de experimentos semelhantes são homogêneas ou não.

Nesse caso, calcula-se o de cada amostra e o do total delas ().

Depois, soma-se os obtidos para cada amostra () e da soma se subtrai o valor obtido para o total de qui quadrados ( ).

O valor final obtido é o de heterogeneidade.

Exemplo

Em 3 amostras de filhos de casais MN, obteve-se:

Amostras	MM	MN	NN	Total
Proporções esperadas	1/4	1/2	1/4
Belém - PA	19	38	23	80
Maceió - AL	18	25	17	60
São Carlos - SP	8	23	9	40
Total	45	86	49	180

Amostras	Cálculo do			GL
Belém - PA	(19-20)2 /20 + (38-40)2 /40 + (23-20)2 /20	0,600	3,250	2
Maceió - AL	(18-15)2 /15 + (25-30)2 /30 + (17-15)2 /15	1,700		2
São Carlos - SP	( 8-10)2 /10 + (23-20)2 /20 + ( 9-10)2 /10	0,950		2
Total	(45-45)2 /45 + (86-90)2 /90 + (49-45)2 /45	0,534	=	2

Para obter a basta somar os valores de obtidos em cada classe e os seus G.L.:

1. Calcula-se o e GL de cada amostra, inclusive de "Total"

2. Soma-se os obtidos ( esse valor é chamado  ) e também os GL

0,600 + 1,700 + 0,950 = = 3,250    e    GL = 2 + 2 + 2 = 6.

3. Subtrai-se o do "Total"  da somatória de ( =   - 

3,250 - 0,534 = 2,716   e   GL = 6 - 2 = 4.

Portanto, = 2,716.

Na tabela verifica-se que crítico = 9,488.

Conclui-se que, como o valor de calculado é menor que o de aceita-se que os desvios são devidos ao acaso, não sendo significativos. Portanto as amostras são homogêneas.

Teste de hipóteses e a distribuição de Poisson

Quando se quer provar se os dados de uma mostra seguem a distribuição de Poisson deve-se:

reunir em uma única classe as que tiverem valores esperados menores que 5
calcular os esperados segundo a distribuição de Poisson

Número de vezes em que o evento ocorre:	0	1	2	3	4
Números esperados de amostras	n/eu	nu/eu	nu2/2.eu	nu31/2.3.eu	nu41/2.3.4.eu

calcular a parcela de , ou seja [(o-e)² /e] referente a cada classe
GL = número de classes - 2 ( o total e a média da amostra)

Exemplo
Foram observados os seguintes números de tripanossomos em 128 campos de um hemocitômetro

Tripanossomos	Freq. Obs.	Freq. Esp.
0	26	21,9
1	37	38,7
2	31	34,1
3	18	20,1
4	10	8,9
5	3 |	3,1 |
6	3 | 6	0,9 | 4,3
7	0 |	0,2 |
>7	0 |	0,1 |
Total	128

Portanto, os dados resultaram em

Tripanossomos	Freq. Obs.	Freq. Esp.	(o-e)2 /e
0	26	21,9	0,768
1	37	38,7	0,075
2	31	34,1	0,282
3	18	20,1	0,219
4	10	8,9	0,136
> 5	6	4,3	0,672
Total	128	128,0	= 2,152

Métodos "simplificados" para cálculo em tabelas 2 por x

Até algumas décadas atrás, quando não se usava calculadoras ou computadores, eram utilizadas maneiras de efetuar cálculos em alguns tipos de tabelas que facilitavam em muito a obtenção de resultados, por efetuarem menor número de operações.

Assim, quase que só por curiosidade, alguns estão especificados aqui.

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