Biometria
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A análise da variância

(Leitura complementar ao capítulo 6)

Sumário:

Análise da variância
Dados emparelhados e análise de variância
Etapas do teste
Modelo fatorial
Modelo hierárquico
Modelo inteiramente casualizado com n igual
Modelo inteiramente casualizado com n diferente
Necessidade da análise 



Necessidade da análise

Para se comparar duas médias usa-se o teste t, como foi visto aqui.

Mas, para se comparar duas médias de várias amostras essa solução é pouco eficiente, pois, dependendo do número de amostras pode existir um grande número de pares a ser analisado.


Por exemplo, em 8 amostras há:

Número de pares = [a (a - 1)] / 2 pares possíveis, ou seja: (8 x 7) / 2 = 28 pares


Ou seja, seria necessário fazer 28 testes e depois analisar resultados que poderiam divergir.


Para resolver esse tipo de problema, Fisher, em 1924, criou a análise de variância para comparar simultaneamente amostras de variáveis contínuas com distribuição normal e cujas variâncias não diferem significativamente entre si, ou seja, que podem ser consideradas como estimativas da variância populacional s2.


Etapas do teste


Primeiramente calcula-se algumas variâncias e deve-se provar que elas são homogêneas, ou seja, pertencem à mesma população.


1. Variância Total

Simbolizada por s2T é obtida quando as a amostras são reunidas, com a.n = N elementos.

A média desse conjunto é simbolizada por xbarra e pode ser expressa por qualquer uma das seguintes fórmulas:

= x / a.n = x / N = / a em que N = a.n

Como a soma de quadrados em relação às amostras reunidas poderá ser apresentada sob forma de:
SQT = (x - xbarra )2 = (x - xbarra)2 ] / (N -1)


Considerando-se que tal soma de quadrados tem N - 1 GL, a variância total pode ser descrita como:
s2T = [ (x - xbarra )2] / N -1 = (x - xbarra )2 / (N -1)



2. Variância Entre as amostras

Simbolizada por s2E mede a variação entre todas as a amostras reunidas.

A variação observada no total das médias seria:
s2x = [ (x - xbarra )2] / (a -1)

Como s2x = s2 / n e s2 = n.s2x pode-se assumir que s2E = n.s2x, que pode ser assim expresso:

SQE = n (x - xbarra2) e s2E = n [ (x - xbarra)2] / (a -1)


3. Variância Dentro das amostras

Simbolizada por s2D mede a variação dentro das a amostras reunidas.

Considerando que, em cada amostra a variação de valores em relação à média xbarra é avaliada por meio de sua variância, ou seja:

SQD = (x - xbarra)2 / (n -1), a variação entre todas as a amostras será medida por:

s2D = (x - xbarra2 / a.(n -1) = (x - xbarra)2 / (N -a)


Hipóteses a serem testadas

Para colocar à prova a hipótese de que as amostras podem ser consideradas como pertencentes a uma mesma população, pois elas estimam a mesma média mi1, estabelece-se as seguintes hipóteses:

H0 = as médias das a amostras estimam a média , pois não há diferenças significativas entre elas
Ha = as médias das a amostras não estimam a média , pois são diferentes entre si.

O valor da fórmula geral da variância é tanto menor quanto mais semelhantes forem as médias amostrais xbarra e o inverso ocorre quando as médias forem diferentes entre si.


O teste

A razão entre as variâncias entre e dentro origina o valor F, que é verificado em uma tabela de F, ao nível de 5%, em testes bicaudais. Portanto:

F = s2E / s2D

sendo que F será tanto maior quanto mais diferirem as médias amostrais.

Critério:
Se F for menor que Fc pode-se aceitar H0 e rejeitar Ha, ou seja: conclui-se
que as médias das a amostras não diferem significativamente entre si
e as amostras pertencem à mesma população.


Análise da variância


A análise de variância tem basicamente 3 passos:

1. Teste de BARTLETT - Cálculo do Qui quadrado

No Teste de BARTLETT há duas fórmulas, para amostras com

n iguais = 2,3026 . (n -1) . (a log - log s2) GL = a - 1
n diferentes = 2,3026 . log . (n-1) - [ (n-1).log s2] GL = a - 1

Notar que = variância média.


Em ambos os casos, se obtido for menor que admite-se que as variâncias são homogêneas e passa-se à fase seguinte.

2. Cálculo das Somas de Quadrados (SQ) e C

As somas dos quadrados (SQT e SQE) e o erro (C) são dadas por:
C = ( x)2 / N
SQT =x2 - C
SQE =(x)2 / n - C


3. Preenchimento do quadro de Análise de variância e comparação de F com Fc

Fonte de Variação
G.L.
SQ
s2
F(GLE, GLD)
 F(c, GLE, GLD)
Tabela 5%





Verificar o valor de F(c, GLE, GLD)

Se F < Fc admite-se que:
as médias amostrais não são diferentes e
pertencem à mesma população
Entre
a-1
= SQE
SQE/(a-1)
s2E / s2D
Dentro
N-a
SQT - SQE
SQD/(N-a)
Total
N-1
= SQT
SQT/(N-1)
.


Exemplos:


A - MODELO INTEIRAMENTE CASUALIZADO - amostras com n igual

1. Quatro amostras de escolares brasileiros foram inoculadas com tuberculina, tendo a leitura da reação de Mantoux (em mm) sido feita após 48 hs da inoculação. Obteve-se os resultados abaixo. Por à prova a hipótese de que as amostras podem ser consideradas como pertencentes a uma mesma população.

Valores
Amostra 1
Amostra 2
Amostra 3
Amostra 4
TOTAL







x
63
60
63
62
x
248
6,3
6,0
6,3
6,2
xbarra
6,20
x2
431
388
433
428
x2
1.680
( x )2 /n
396,9
360,0
396,9
384,4
[(x )2] / n
1.538,2
SQ
34,1
28,0
36,1
43,6
SQ
141,8
s2
3,79
3,11
4,01
4,84
s2
3,94
n
10
10
10
10
N
40


a. Teste de BARTLETT - Cálculo do Qui quadrado

- Verifica a homogeneidade entre as variâncias (para amostras com n iguais)

Amostra s2 log s2
1 3,79 0,579
2 3,11 0,493
3 4,01 0,603
4 4,84 0,685
Total 15,75 2,360

Calcula-se a variância média = = 15,75 / 4 = 3,94

Calcula-se o logarítmo da variância média = log = 0,595

Substitui-se os valores na fórmula para n(s) igual(s):

= 2,3026 . (n -1). (a log -log s2)
= 2,3026 . 9. (4 . 0,595 - 2,360)
= 2,3026 . 9. 0,020
Portanto, = 0,414.

Como G.L. = 3, = 7,815 e 0,90 < P < 0,95.

(Para verificar a tabela de , clique aqui).
Como obtido é menor que admite-se que as variâncias são homogêneas.

E pode-se continuar a análise.


b. Cálculo das Somas de Quadrados (SQ) e C

C = ( x)2 / N = ( x )2 / N = 2482 / 40 = 1.537,6

SQT = x2 - C = 1680 -1537,6 = 142,4

SQE = (x )2 / n - C = 1538,2 - 1537,6 = 0,6


c. Preenchimento do quadro de Análise de variância e comparação de F com Fc

Lembrando que:

Fonte de Variação
G.L.
SQ
s2
F(GLE, GLD)
 F(c, GLE, GLD) Tabela F, 5%





Verificar o valor de F(c, GLE, GLD)

Se F < Fc admite-se que:
as médias amostrais não são diferentes e
pertencem à mesma população
Entre
a-1
= SQE
SQE/(a-1)
s2E / s2D
Dentro
N-a
SQT - SQE
SQD/(N-a)
.
Total
N-1
= SQT
SQT/(N-1)
.


Portanto, análise da variância aplicada aos dados acima:

Fonte de Variação
G.L.
SQ
s2
F(GLE, GLD)
 F(c, GLE, GLD)






Entre
3
0,6
0,20
0,05
2,84
Dentro
36
141,8
3,94
(P > 0,05)


Total
39
142,4



(Para verificar a tabela de F (5%), clique aqui).

Conclui-se que, como F ( 0,05 ) é menor que Fc ( 2,84 ), as amostras pertencem à mesma população.


Para facilitar os cálculos utilize uma planilha especial:

Análise de Variância - Modelo inteiramente casualizado

Copie a planilha comprimida em formato livre ods

Aba "n iguais"



B - MODELO INTEIRAMENTE CASUALIZADO - amostras com n diferente

2. A concentração sérica de albumina foi medida em g% em 4 amostras de hansenianos, obtendo-se os resultados abaixo. Por à prova a hipótese de que as amostras podem ser consideradas como pertencentes a uma mesma população.

Valores
Amostra 1
Amostra 2
Amostra 3
Amostra 4

TOTAL







x
35,61
29,35
44,71
38,41
x
148,08
xbarra
3,56
3,67
3,73
4,27
xbarra
3,80







x2
130,83
109,54
170,80
166,39
x2
577,56
(x)2 / n
126,81
107,68
166,58
163,93
[(x )2] / n
565







SQ
4,02
1,86
4,22
2,46
SQ
12,56
s2
0,45
0,27
0,38
0,30
s2
0,33
n
10
8
12
9
N
39


a. Teste de BARTLETT - Cálculo do Qui quadrado

Homogeneidade entre as variâncias de amostras com n diferente)

Amostra
SQ
n - 1
s2
log s2
(n-1)log s2
1
4,02
9
0,45
-0,347
- 3,123
2
1,86
7
0,27
-0,569
- 3,983
3
4,22
11
0,38
-0,420
- 4,620
4
2,46
8
0,30
-0,523
- 4,184
Total
12,56
35


-15,910

Calcula-se a variância média
= SQ / (n-1) = 12,56 / 35 = 0,359


Calcula-se o logarítmo da variância média
log = -0,445


Substitui-se os valores na fórmula:
= 2,3026 . [log sbarra2.(n -1) - (n-1).log s2]

= 2,3026 . ( -0,445 x 35 ) - (- 15,910)

= 2,3026 . [-15,575 - - 15,910] = 2,3026 . 0,335

Portanto, = 0,717.

Como G.L. = 3, = 7,815 e 0,80 < P < 0,90

Como obtido é menor que admite-se que as variâncias são homogêneas.


b. Cálculo das Somas de Quadrados (SQ) e C

C = ( x )2 / N = 148,082 / 39 = 562,25

SQT = x2 - C = 577,56 - 562,25 = 15,31

SQE= (x)2 / n - C = 565 - 562,25 = 2,75

c. Preenchimento do quadro de Análise de variância e comparação de F com Fc

Fonte de Variação
G.L.
SQ
s2
F(GLE, GLD)
 F(c, GLE, GLD)
Tabela 5%





Verificar o valor de F(c, GLE, GLD)

Se F < Fc admite-se que:
as médias amostrais não são diferentes e
pertencem à mesma população
Entre
a-1
= SQE
SQE/(a-1)
s2E / s2D
Dentro
N-a
SQT - SQE
SQD/(N-a)
.
Total
N-1
= SQT
SQT/(N-1)
.


Análise da variância aplicada aos dados acima


Fonte de Variação
G.L.
SQ
s2
F(GLE, GLd)
 F(c, GLE, GLd)






Entre
3
2,75
0,92
2,56
2,84
Dentro
35
12,56
0,36

P > 0,05
Total
38
15,31



Como F (2,56) é menor que Fc (2,84) conclui-se que as amostras pertencem à mesma população.


Para facilitar os cálculos utilize uma planilha especial:

Análise de Variância - Modelo inteiramente casualizado

Copie a planilha comprimida em formato livre ods

Aba "n diferentes"



C - MODELO FATORIAL

Neste modelo, cada dado pode ser classificado conforme mais de um critério (no exemplo a seguir, segundo o grupo etário ou conforme a raça).

Exemplo:
Suponha que indivíduos caucasóides, negróides e mongolóides foram inoculados intradermicamente com um certo antígeno, tendo a leitura da reação tardia sido feita após 4 semanas da inoculação, tomando-se o diâmetro em mm. Obteve-se os resultados abaixo. Faça a análise da variância.

grupo etário (anos) Caucasóides Negróides Mongolóides




10 - 20 4 - 3 - 5 - 8 - 2 5 - 6 - 9 - 5 - 6 7 - 4 - 6 - 4 - 4
20 - 30 5 - 6 - 3 - 5 - 6 6 - 7 - 7 - 6 - 4 2 - 4 - 5 - 4 - 8
30 - 40 6 - 6 - 6 - 4 - 3 4 - 7 - 5 - 7 - 6 3 - 8 - 4 - 3 - 5
40 - 50 4 - 3 - 4 - 5 - 6 4 - 5 - 6 - 7 - 6 5 - 3 - 4 - 4 - 8
50 - 60 5 - 6 - 3 - 6 - 6 7 - 8 - 9 - 8 - 9 4 - 3 - 5 - 5 - 6


grupo racial Valores 10 - 20 20 - 30 30 - 40 40 - 50 50 - 60
Total









CAUCASÓiDES x 22 25 25 22 26 120; (x)2/sn 576,0

xbarra 4,4 5,0 5,0 5,0 5,2 xbarra 4,80

x2 118 131 133 102 142 (x)2 / n 626

(x )2/ n 96,8 125,0 125,0 96,8 135,2 s2 578,8

SQ 5,30 1,50 2,00 1,30 1,70 n 2,08

s2 5 5 5 5 5 N 25

NEGRÓIDES x 31 30 29 28 41 159; (x)2/sn 1.011,2

xbarra 6,2 6,0 5,8 5,6 8,2 xbarra 6,36

x2 203 186 175 162 339 (x)2 / n 1065

(x )2/ n 192,2 180,0 168,2 156,8 336,2 s2 1.033,4

SQ 2,70 1,50 1,70 1,30 0,70 n 2,24

s2 5 5 5 5 5 N 25

MONGOLÓIDES x 25 23 23 24 23 120; (x)2/sn 557,0

xbarra 5,0 4,6 4,6 4,8 4,6 xbarra 4,72

x2 133 125 123 130 111 (x)2 / n 622

(x )2/ n 125,0 105,8 105,8 115,2 105,8 s2 557,6

SQ 2,00 4,80 4,30 3,70 1,30 n 2,71

s2 5 5 5 5 5 N
 25
x = 397   x2 = 2.313   (x)2/N = 2.101,4 s2 = 2,86


a. Teste de BARTLETT - Cálculo do Qui quadrado - Homogeneidade entre as variâncias, quando se considera os três grupos raciais:

Chega-se a= 0,497

Como G.L. = 2, = 5,991

Como obtido é menor que admite-se que as variâncias são homogêneas.


b. Cálculo das Somas de Quadrados (SQ) e C

C = (x)2 / N = 3972 / 75 = 2.101,4

SQT = x2 - C = 2.313 - 2.101,4 = 211,6

SQE= (x )2 / n - C = 578,8 + 1.033,4 + 557,6 - 2.101,4 = 68,40


Chamando o fator raça de r e o fator idade de i, calcula-se a soma dos quadrados entre os grupos raciais e entre os grupos etários:


SQE r =(x)2 /s.n - C = 576,0 + 1.011,2 + 557,0 - 2.101,4 = 42,80

SQE i = (x)2 / a.n - C = (22 + 31 + 25)2 / 15 + ... - 2.101,4 = 10,13

SQE interação = SQE - SQEr - SQEi = 68,40 - 42,80 - 10,13 = 15,47

Para se obter os graus de liberdade opera-se de modo semelhante, chegando-se a g.l. = 8 na SQE interação.

c. Preenchimento do quadro de Análise de variância e comparação de F com Fc

Fonte de Variação G.L. SQ s2 F(GLE, GLD)
Entre grupos raciais 2 42,80 21,40 F(2,60) = 8,95; P < 0,05
Entre faixas etárias 4 10,13 2,53 F(4,60) = 1,06; P > 0,05
Interação 8 15,47 1,93 F(8, 60) = 0,81; P > 0,05





Entre 14 68,40 4,89 F(14, 60) = 2,05; P < 0,05
Resíduo 60 143,20 2,39
Total 74 211,60



Conclusão:
Há um efeito significativo dos grupos raciais sobre a resposta do antígeno em estudo (F(2,60) = 8,95; P < 0,05), o mesmo não ocorrendo em relação à idade (F(4,60) = 1,06; P > 0,05). Conclui-se, também, que não há interação entre grupos raciais e idade (F(8, 60) = 0,81; P > 0,05).


Copie uma planilha comprimida com esse exemplo de modelo fatorial
em formato livre ods



D - MODELO HIERÁRQUICO

Neste modelo, cada dado pode ser classificado conforme MAIS DE UM CRITÉRIO, mas não pode ser reduzido a uma tabela de contingência (como no modelo fatorial).

Exemplo:

Um pesquisador coletou dados em 2 estados brasileiros (A e B) a respeito do peso de recém-nascidos de sexo masculino e que, em cada um desses estados esteve em duas cidades: A1, A2, B1 e B2. Portanto, o peso pode ser classificado conforme 2 critérios: o estado (A ou B) ou a cidade: A1, A2, B1 ou B2. Os dados não podem ser reduzidos a uma tabela de contingência, pois as cidades não são independentes do e estado. Admite-se, pois o ENCADEAMENTO DE EFEITOS, um contendo o outro, de tal modo que se distingue uma hierarquia de efeitos.

Estado valores Cidade 1 Cidade 2 Valores Total

x 5.175,000 4.725,000 9900; (x)2/sn 32.670,000

xbarra 3,450 3,150 xbarra 3,300
a x2 18.399,386 15.405,402 (x)2 33.804,788

(x )2/ n 17.853,750 14.883,750 (x)2 / n 32.737,500

s2 0,364 0,348 s2 0,378

n 1.500 1.500 n 3.000







x 5.130,000 4.785,000 9915;x) 2/sn 32.769,075
B xbarra 3,420 3,190 xbarra 3,305

x2 18.069,250 15.818,780 (x)2 33.888,030

(x )2/ n 17.544,600 15.264,150 (x)2 / n 32.808,750

s2 0,350 0,370 s2 0,373

n 1.500 1.500 n 3.000


a = 2 (2 amostras = estados), s = 2 (2 subamostras = cidades) e N = total de indivíduos (6.000)


a. Teste de BARTLETT - Cálculo do Qui quadrado - Homogeneidade entre as variâncias (para amostras com n iguais)

Chega-se a = 3,452

Como G.L. = 3, = 7,815 e 0,30 < P < 0,50

Como obtido é menor que admite-se que as variâncias são homogêneas.


b. Cálculo das Somas de Quadrados (SQ) e C

C = (x)2 / N = 19.8152 / 6.000 = 65.439,04

SQT =x2 - C = 67.692,818 - 65.439,04 = 2.253,78

Como N - 1 = 6.000 - 1 = 5.999 g.l.

O componente que mede o efeito entre as amostras, ou seja, entre os estados, é calculado a partir de:

SQEa = [(x) 2 / sn] - C = 65.439,07 - 65.439,04 = 0,03; tendo a-1 = 2-1 = 1 g.l.

O componente que mede o efeito entre as s sub-amostras dentro de cada amostra (SQes) é obtido assim:

SQE = [(x)2 / n] - C = 65.546,25 - 65.439,04 = 107,21; tendo as-1 = 4-1 = 3 g.l.

Como SQE = SQEa + SQEs:

SQEs = 107,21 - 0,03 = 107,18; tendo a (s-1) = 2 (2-1) = 2 g.l.

A soma de quadrados do resíduo é obtida por:

SQD = SQT - SQE = SQT - SQEa - SQEs = 2.253,78 - 107,21 = 2.146,57

tendo a.s.(n -1) = 2 . 2 . 1499 = 5.996 g.l.

c. Preenchimento do quadro de Análise de variância e comparação de F com Fc

Fonte de Variação G.L. SQ s2 F(GLE, GLD)
Entre estados 1 0,03 0,03 F(1,2 = 0,0006; P > 0,05
Entre cidades nos estados 2 107,18 53,59 F(2, i) = 148,86; P < 0,05





Resíduo 5996 2146,57 0,36 i = infinito
Total 5999 2253,78


Não há diferenças significativas entre as médias dos estados A e B, mas há diferenças entre as cidades dentro de cada estado.

Pode-se reanalisar os dados levando em consideração apenas um critério: estado de origem, (como se o modelo fosse inteiramente casualizado). Monta-se a seguinte tabela:

Reanálise da variância aplicada aos dados acima:

Fonte de Variação G.L. SQ s2 F(GLE, GLD).
Entre estados 1 0,03 0,03 F(1, i) = 0,08; P < 0,05
Dentro 5998 2253,75 0,38
Total 5999 2253,78
i = infinito


Como F é menor que Fc __________-se que haja diferenças significativas entre as médias dos estados A e B.


E - DADOS EMPARELHADOS E ANÁLISE DE VARIÂNCIA

Estudou-se o índice palmar (linha T) em 68 pares de gêmeos, com 34 MZ (17 de cada sexo) e 34 DZ (17 de cada sexo). Foram calculadas as diferenças intrapar. Obteve-se:

Tipo Valores
MM
FF
Total
Tipo Valores MM FF Total

d
1,105
1,487
2,592

d 1,492 2,263 3,755

d
0,065
0,087
0,076

d 0,088 0,133 0,110
MZ d2
0,118
0,293
0,411
DZ d2 0,203 0,436 0,639

(d)2 / n
0,072
0,0130
0,202

(d)2 / n 0,131 0,301 0,432

s2
0,003
0,010
0,006

s2 0,005 0,008 0,007

n
17
17
34

n 17 17 34


a = 2 (no. de amostras), s = 2 (no. de subamostras em cada amostra a) e N = total de indivíduos (6.000)


a. Teste de BARTLETT - Cálculo do Qui quadrado - Homogeneidade entre variâncias (amostras com n iguais)

Portanto, = 6,359.

Como G.L. = 3, = 7,815 e 0,10 < P < 0,20

Como obtido é menor que admite-se que as variâncias são homogêneas.


b. Cálculo das Somas de Quadrados (SQ) e C

C = ( d)2 / N = 6,3472 / 68 = 0,592

SQT =d2 - C = 1,050 - 0,592 = 0,458

SQE =(d)2 / n - C = 0,202 + 0,432 - 0,592 = 0,042

SQEa =(d)2 / sn - C = (2,592)2 / 34 + (3,755)2 / 34 - 0,592 = 0,020

SQEb =(d)2/an - C = (1,105 + 1,492) 2 / 34 + (1,487 + 2,263) 2 / 34 - 0,592 = 0,020


c. Preenchimento do quadro de Análise de variância e comparação de F com Fc

Fonte de Variação
G.L.
SQ
s2
F(GLE, GLD).
Entre tipos de gêmeos
1
0,020
0,0200
F(1, 64) = 3,08; P > 0,05
Entre sexos
1
0,020
0,0200
F(1, 64) = 3,08; P > 0,05
Interação
1
0,002
0,0020
F(3, 64) = 0,31; P > 0,05





Entre
3
0,042
0,0140
F(3, 64) = 2,15; P > 0,05
Dentro
64
0,416
0,0065

Total
67
0,458



Como F é ___ que Fc __________-se que as diferenças intrapar em relação ao índice da linha T independem do tipo de gêmeos ou do sexo.



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Última alteração: 7 abr 2011